Регрессионная модель среднедушевых сбережений при гетероскедастичности остатков

В табл.2.1 представлены данные (в млн. руб.) о среднедушевых сбережениях (y) и доходах (x) в n =10 семьях. Требуется построить две линейные регрессионные модели, характеризующие зависимость денежных сбережений (y) от среднедушевых доходов (x), соответственно, при соблюдении исходных предпосылок классической регрессионной модели и гетероскедастичности случайных регрессионных остатков. Сравнить точность оценок параметров q ₀ и q ₁ моделей.

Таблица 2.1.

№ семьи (i)
yi (млн.руб)	0, 3	0, 1	2, 2	0, 9	4, 0	1, 7	5, 8	2, 5	7, 5	3, 0
xi (млн.руб)	1, 0	2, 0	3, 0	4, 0	5, 0	6, 0	7, 0	8, 0	9, 0	10, 0

 

Решение. Предварительно представим наши данные графически. На рис. 2.1 представлены на плоскости все наши n =10 наблюдений, а также график линейного уравнения регрессии .

Рис.2.1. Данные о среднедушевых сбережениях (y) и доходах (x)

Из графика следует правомерность выбора линейной регрессионной модели вида:

y_i = q₀ + q₁x_i + e_i, i = 1, 2,..., n (2.1)

Здесь подлежащий оцениванию вектор неизвестных коэффициентов уравнения имеет вид

а) При построении классической линейной регрессионной модели предполагается, что случайные остатки e_i независимы, нормальны и гомоскедастичны, т.е. e_i Î N(0, s ²) и М e_ie_j= 0 при i ¹ j и i, j = 1, 2,..., n.

В случае классической регрессионной модели МНК-оценка вектора qопределяется из выражения:

,

где для нашего примера

;

 

тогда

; ; .

и

Тогда оценка уравнения регрессии имеет вид:

(2.2)

 

Найдем несмещенную оценку остаточной дисперсии:

откуда несмещенная оценка среднеквадратического отклонения равна

Оценку ковариационной матрицы вектора определим из выражения:

Таким образом, имеем исправленные оценки дисперсии элементов вектора : и . Отсюда находим среднеквадратические отклонения, значения которых приведены в скобках под уравнением регрессии (2.2).

б) Перейдем к построению линейного регрессионного уравнения в предположении гетероскедастичности случайных регрессионных остатков.

На рис.2.1 хорошо видно, что с ростом доходов (х) вариация, размах отклонений сбережений (у) от линии регрессии () растет пропорционально х, что свидетельствует о гетероскедастичности случайных остатков, т.е., что e^*=e× х.

Пусть регрессионная модель имеет вид:

y_i = q₀ + q₁ x_i + , где i =1, 2,..., n (2.3)

Предполагается, что =e _i × x_i - случайная ошибка, линейно зависящая от значений объясняющей переменной x_i, e _i Î N (0, s²) и Мe _i e _j =0 при i ¹ j. Тогда Î N (0, s²× ) и М =0 при i ¹ j и i, j= 1, 2,..., n.

В случае модели (2.3) оценку векторов параметров находят с помощью обобщенного МНК. ОМНК - оценка вектора q равна:

q^* = (X ^T V ^-1 X)^-1 X ^T V ^-1Y (2.4)

где

 

Поясним алгоритм нахождения оценок (2.4) для нашей двумерной модели (1.3). Разделив левую и правую части уравнения (2.3) на x_i, получим:

.

Относительно новых переменных и мы имеем классическую регрессионную модель

параметры которой оцениваются с помощью МНК. МНК-оценка уравнения регрессии имеет вид:

Окончательно уравнение регрессии можно записать:

(2.5)

Уравнение обладает следующими статистическими характеристиками: ; ; .

Сравним статистические характеристики уравнений регрессий, полученных с помощью МНК (2.2) и ОМНК (2.5).

Второе уравнение имеет более точные оценки элементов вектора q, а именно: и

Таким образом, в нашем примере ОМНК-оценки коэффициентов уравнения q₀ и q₁ оказались точнее, эффективнее.