Задачи и упражнения. 1.1.Из генеральной совокупности (y, x(1), , x(p)), где y имеет нормальный закон распределения с условным математическим ожиданием и дисперсией s2

1.1. Из генеральной совокупности (y, x ⁽¹⁾,..., x ^(p)), где y имеет нормальный закон распределения с условным математическим ожиданием и дисперсией s², взята случайная выборка объемом n, и пусть (y_i, x_i ⁽¹⁾,..., x_i ^(p)) - результат i -го наблюдения (i =1, 2,..., n). Определить: а) математическое ожидание МНК-оценки вектора q; б) ковариационную матрицу МНК-оценки вектора q; в) математическое ожидание оценки .

 

1.2. По условию задачи 1.1 найти математическое ожидание суммы квадратов отклонений, обусловленных регрессией, т.е. EQ_R, где

.

 

1.3. По условию задачи 1.1 определить математическое ожидание суммы квадратов отклонений, обусловленных остаточной вариацией относительно линий регрессии, т.е. EQ _ост, где

.

 

1.4. Доказать, что при выполнении гипотезы Н₀: q=0 статистика

имеет F-распределение с числами степеней свободы n₁=p+1 и n₂=n-p-1.

 

1.5. Доказать, что при выполнении гипотезы Н₀: q_j=0 статистика имеет t-распределение с числом степеней свободы n=n-p-1.

 

1.6. На основании данных (табл.1.4) о зависимости усушки кормового хлеба (y) от продолжительности хранения (x) найти точечную оценку условного математического ожидания в предположении, что генеральное уравнение регрессии - линейное.

 

Таблица 1.4.

Продолжительность хранения (ч) (x)
Усушка (% к весу горячего хлеба) (y)	1, 6	2, 4	2, 8	3, 2	3, 3

 

Требуется: а) найти оценки и остаточной дисперсии s² в предположении, что генеральное уравнение регрессии имеет вид ; б) проверить при a=0, 05 значимость уравнения регрессии, т.е. гипотезу Н₀: q=0; в) с надежностью g=0, 9 определить интервальные оценки параметров q₀, q₁; г) с надежностью g=0, 95 определить интервальную оценку условного математического ожидания при х ₀=6; д) определить при g=0, 95 доверительный интервал предсказания в точке х =12.

 

1.7. На основании данных о динамике темпов прироста курса акций за 5 месяцев, приведенных в табл. 1.5.

Таблица 1.5.

месяцы (x)
y (%)

 

и предположения, что генеральное уравнение регрессии имеет вид , требуется: а) определить оценки и параметров уравнения регрессии и остаточной дисперсии s²; б) проверить при a=0, 01 значимость коэффициента регрессии, т.е. гипотезы H₀: q₁=0;

в) с надежностью g=0, 95 найти интервальные оценки параметров q₀ и q₁; г) с надежностью g=0, 9 установить интервальную оценку условного математического ожидания при x ₀=4; д) определить при g=0, 9 доверительный интервал предсказания в точке x =5.

 

1.8. Результаты исследования динамики привеса молодняка приведены в табл.1.6.

Таблица 1.6.

Возраст (недели) (x)
Вес (кг) (y)	1, 2	2, 5	3, 9	5, 2	6, 4	7, 7	9, 2

 

Предполагая, что генеральное уравнение регрессии - линейное, требуется: а) определить оценки и параметров уравнения регрессии и остаточной дисперсии s²; б) проверить при a=0, 05 значимость уравнения регрессии, т.е. гипотезы H₀: q=0;

в) с надежностью g=0, 8 найти интервальные оценки параметров q₀ и q₁; г) с надежностью g=0, 98 определить и сравнить интервальные оценки условного математического ожидания при x ₀=3 и x ₁=6;

д) определить при g=0, 98 доверительный интервал предсказания в точке x =8.

 

1.9. Себестоимость (y) одного экземпляра книги в зависимости от тиража (x) (тыс.экз.) характеризуется данными, собранными издательством (табл.1.7). Определить МНК-оценки и параметров уравнения регрессии гиперболического вида , с надежностью g=0, 9 построить доверительные интервалы для параметров q₀ и q₁, а также условного математического ожидания при x =10.

Таблица 1.7.

тираж (x) (тыс.экз.)
себестоимость (y)	9, 10	5, 30	4, 11	2, 83	2, 11	1, 62	1, 41	1, 30

 

1.10. Данные о расходе электроэнергии (кВт/ч) на изготовление одной тонны цемента (y) в зависимости от объема выпуска (x) продукции (тыс.т) цементными заводами приводятся в табл. 1.8.

Таблица 1.8.

Выпуск продукции x (тыс.т)
Расход электроэнергии у (кВт/ч)	10, 0	8, 2	7, 3	6, 3	6, 4	5, 2

 

Определить оценки и параметров уравнения регрессии вида , проверить при a=0, 05 гипотезу Н₀: q₁=0 и построить с надежностью g=0, 9 доверительные интервалы для параметров q₀ и q₁ и условного математического ожидания при x =20.

 

1.11. В табл. 1.9 представленные данные о темпах прироста (%) следующих макроэкономических показателей n =10 развитых стран мира за 1992г.: ВНП - x ⁽¹⁾, промышленного производства - x ⁽²⁾, индекса цен - x ⁽³⁾.

Таблица 1.9.

Страны	x (1)	x (2)	x (3)
Япония	3, 5	4, 3	2, 1
США	3, 1	4, 6	3, 9
Германия	2, 2	2, 0	3, 4
Франция	2, 7	3, 1	2, 9
Италия	2, 7	3, 0	5, 6
Великобритания	1, 6	1, 4	4, 0
Канада	3, 1	3, 4	3, 0
Австралия	1, 8	2, 6	4, 0
Бельгия	2, 3	2, 6	3, 4
Нидерланды	2, 3	2, 4	3, 5

 

Примем за объясняемую величину (у) показатель x ⁽¹⁾, а за объясняющую (х) переменную x ⁽²⁾ и предположим, что уравнение регрессии имеет вид:

1. .

2. .

3. .

Требуется: а) определить (с учетом линеаризации уравнения) МНК-оценки и параметров уравнения регрессии, оценку остаточной дисперсии; б) проверить при a=0, 05 значимость коэффициента регрессии, т.е. Н₀: q₁=0; в) с надежностью g=0, 9 найти интервальные оценки q₀ и q₁; г) найти при g=0, 95 доверительный интервал для в точке х ₀= х_i, где i =5; д) сравнить статистические характеристики уравнений регрессий: 1, 2 и 3.

 

1.12. Задачу 1.11 решить, приняв за объясняемую величину (у) показатель x ⁽¹⁾, а за объясняющую (х) переменную x ⁽³⁾.

 

 

Тест

1. Какие требования в модели регрессионного анализа предъявляются к распределению ошибок наблюдения e _i, а именно к их математическому ожиданию Me _i и дисперсии De _i:

а) Me _i =1; De _i =s²;

б) Me _i =0; De _i =0;

в) Me _i =0; De _i =s²;

г) Me _i =1; De _i =0.

 

2. Что минимизируется согласно методу наименьших квадратов:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

 

3. Дана ковариационная матрица вектора

Чему равна оценка дисперсии элемента q₂ вектора q, т.е.

а) 5, 52;

б) 0, 04;

в) 0, 01;

г) 2, 21.

 

4. При исследовании зависимости себестоимости продукции у от объема выпуска х ₁ и производительности труда х ₂ по данным n =20 предприятий получено уравнение регрессии: и среднеквадратические отклонения коэффициентов регрессии: и . Можно ли при уровне значимости a=0, 05 утверждать, что значимы коэффициенты регрессии:

а) q₁;

б) q₂;

в) оба значимы;

г) оба не значимы.

 

5. По данным теста 4 определите с доверительной вероятностью g=0, 99 на какую величину максимально может измениться себестоимость продукции у, если объем производства х ₁ увеличить на единицу:

а) -0, 6;

б) 0, 72;

в) -1, 5;

г) -0, 83.

 

6. По данным теста 4 определите на сколько процентов в среднем изменится себестоимость продукции у, если производительность труда х ₂ увеличить на 1%, учитывая при этом , и :

а) 0, 101%;

б) -0, 101%;

в) -0, 404%;

г) 0, 404%.

 

7. Уравнению регрессии соответствует множественный коэффициент корреляции . Какая доля вариации результативного показателя у (в %) объясняется входящими в уравнение регрессии переменными х ₁ и х ₂:

а) 70, 6;

б) 16, 0;

в) 84, 0;

г) 29, 4.

 

8. По данным n =15 фирм исследована зависимость прибыли у от числа работающих х вида . Была получена оценка остаточной дисперсии и обратная матрица:

Определите чему равна дисперсия оценки коэффициента регрессии :

а) 1, 500;

б) 0, 110;

в) 0, 682;

г) 0, 242.

 

9. По данным n =25 регионов получена регрессионная модель объема реализации медикаментов на одного жителя у в зависимости от доли городского населения х ₁ и числа фармацевтов х ₂ на 10 тыс. жителей: и среднеквадратические отклонения коэффициентов регрессии и . Начиная с какого уровня значимости a можно утверждать, что у зависит от доли городского населения х ₁:

а) 0, 3;

б) 0, 2;

в) 0, 1;

г) 0, 05.

 

10. По данным теста №9 определите, чему равна при доверительной вероятности g=0, 95 верхняя граница интервальной оценки коэффициента регрессии при х ₂:

а) 0, 13;

б) 0, 2;

в) 0, 65;

г) 0, 71.