Регрессионная модель производительности труда

По данным годовых отчетов десяти (n =10) машиностроительных предприятий провести регрессионный анализ зависимости производительности труда у (тыс. руб. на чел.) от объема производства х (млн.руб.). Предполагается линейная модель, т.е. .

 

Таблица 1.1.

Исходная информация для анализа и результаты расчетов

номер п/п (i)	yi	xi
	2, 1		2, 77	-0, 67
	2, 8		3, 52	-0, 72
	3, 2		4, 27	-1, 07
	4, 5		4, 27	0, 23
	4, 8		4, 27	0, 53
	4, 9		4, 27	0, 63
	5, 5		5, 02	0, 48
	6, 5		5, 77	0, 73
	12, 1		11, 75	0, 35
	15, 1		15, 50	-0, 4

 

Решение: Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор b получается из выражения:

(1.1)

Воспользовавшись правилами умножения матриц будем иметь

В матрице число 10, лежащее на пересечении 1-й строки и 1-го столбца, получено как сумма произведений элементов 1-й строки матрицы Х^Т и 1-го столбца матрицы Х, а число 75, лежащее на пересечении 1-й строки и 2-го столбца - как сумма произведений элементов 1-й строки матрицы Х^Т и 2-го столбца матрицы Х и т.д.

Найдем обратную матрицу

Тогда вектор оценок коэффициентов регрессии равен

а оценка уравнения регрессии будет иметь вид

(1.2)

Перейдем к статистическому анализу полученного уравнения регрессии: проверке значимости уравнения и его коэффициентов, исследованию абсолютных и относительных ошибок аппроксимации.

Предварительно определим вектор модельных значений результативного показателя :

Тогда

(1.3)

А несмещенная оценка остаточной дисперсии равна:

а оценка среднеквадратического отклонения

.

Проверим на уровне значимости a=0, 05 значимость уравнения регрессии, т.е гипотезу H₀: q=0 (q₀=q₁=0). Для этого вычисляем величину

(1.4)

По таблице F-распределения для a=0, 05, n₁=2 и n₂=8 находим F_кр=4, 46. Так как F_набл> F_кр, то уравнение является значимым.

Найдем оценку ковариационной матрицы вектора :

(1.5)

 

Отсюда получаем несмещенные оценки дисперсий и среднеквадратических отклонений коэффициентов регрессии:

Для проверки значимости коэффициента регрессии, т.е. гипотезы Н₀: q₁=0, находим по таблице t-распределения при a=0, 05, n=8 значение t_кр=2, 31:

(1.6)

Так как больше t_кр=2, 31, то коэффициент регрессии q₁ значимо отличается от нуля. Таким образом, окончательное уравнение регрессии имеет вид

Определим интервальные оценки коэффициентов уравнения с доверительной вероятностью g=0, 95. Т.к.

(1.7)

где j=0; 1, то

q₀Î [0, 525 ± 2, 31´ 0, 391], откуда -0, 378 £ q₀ £ 1, 428 и

q₁Î [0, 74861 ± 2, 31´ 0, 0428], откуда 0, 650 £ q₁ £ 0, 847.

Приведенные неравенства подтверждают вывод о значимости q₁ (q₁¹ 0). В то же время коэффициент q₀ уравнения (1.2) не значим (границы доверительного интервала имеют разные знаки).