Исходные (xt) и расчетные значения количества родившихся

по кварталам (1994-1995гг.)

t	Год	Цикл kt	квартал (фаза цикла) n t	xt
					387, 8	1, 065	425, 0
					381, 8	0, 969	381, 0
					375, 9	0, 923	353, 8
					369, 9	0, 906	336, 2
					364, 0	1, 126	381, 8
					358, 0	1, 042	349, 1
					352, 1	0, 994	334, 1
					346, 1	0, 965	327, 4
				Прогноз			386, 8

 

Требуется определить расчетные значения и прогноз (при t =9) количества родившихся, воспользовавшись моделью экспоненциального сглаживания с мультипликативной сезонностью и линейным ростом (модель Уинтерса) при периоде упреждения t=1 и параметрах адаптации a₁=0, 2; a₂=0, 3 и a₃=0, 4.

 

Модель экспоненциального сглаживания с мультипликативной сезонностью и линейным ростом (модель Уинтерса)

 

Напомним, что сезонная модель с линейным ростом Уинтерса имеет вид:

(3.11)

где х_t — исходный временной ряд t =1, 2,..., n;

a _{1, t} — параметр, характеризующий линейную тенденцию развития процесса, т.е. средние значения уровня исследуемого временного ряда х_t в момент t;

f _{n tkt} — коэффициент сезонности для n _t -й фазы k_t -го цикла; n _t =1, 2,..., l; где n _t = t ‑ l× (k_t ‑ 1);

l — число фаз в полном цикле (в месячных временных рядах l =12, в квартальных — l =4 и т.д.);

e _t — случайная ошибка. Обычно предполагается, что вектор eÎ N_n (0, s² I _n), где e=(e₁,..., e _t,..., e _n)^T;

I _n — единичная матрица размерности (n ´ n).

Адаптивные параметры модели (3.11) оцениваются с помощью рекуррентной экспоненциальной схемы по данным временного ряда x_t, состоящего из n наблюдений:

(3.12)

где a _{2, t} — прирост среднего уровня ряда от момента t ‑ 1 к моменту t;

— расчетное значение временного ряда, определяемое для момента времени t с периодом упреждения t, т.е. по данным момента (t‑ t);

a₁, a₂ и a₃ — параметры адаптации экспоненциального сглаживания (0< a₁, a₂, a₃< 1).

При этом, увеличение a _j (j =1, 2, 3) ведет к увеличению веса более поздних наблюдений, а уменьшение a _j — к улучшению сглаживания случайных отклонений. Эти два требования находятся в противоречии и поиск компромиссного сочетания значений a₁, a₂ и a₃ составляет задачу оптимизации модели.

Как следует из (3.12) экспоненциальное выравнивание всегда требует предыдущей оценки сглаживаемой величины. Когда процесс адаптации только начинается, то должны быть начальные значения, предшествующие первому наблюдению. В нашей задаче предстоит определить начальные условия: где n _t =1, 2,..., l.

Таким образом, расчетные значения является функцией всех прошлых значений исходного временного ряда x_t, параметров a₁, a₂ и a₃ и начальных условий. Влияние начальных условий на расчетное значение зависит от величины весов a _j и длины ряда, предшествующего моменту t. Влияние и обычно уменьшается быстрее, чем , т.к. и пересматриваются на каждом шаге, а только один раз за цикл.

Решение. Первоначально по n =8 наблюдениям временного ряда x_t найдем МНК-оценку линейного тренда . В результате расчета имеем:

.

Определим начальные условия:

Мультипликативные коэффициенты сезонности нулевого цикла:

— определим как среднюю арифметическую индексов сезонности -й фазы в исходном временном ряду:

Расчеты будем проводить при параметрах адаптации a₁=0, 2; a₂=0, 3; a₃=0, 4 и периоде упреждения t=1.

Расчетные значения для 1-го цикла (k_t =1, n _t = t)

 

при t =1 согласно (3.12) имеем

при t =2

при t =3

при t =4

Расчетные значения для 2-го цикла (k_t =2, n _t = t -4)

Здесь нам понадобятся коэффициенты сезонности, найденные для 1-го цикла: и .

при t =5

Т.к. относится ко 2-му циклу (k_t =2), при выборе исходили, что n_t=5-4=1.

при t =6

при t =7

при t =8

при t =9 (прогноз)

Полученные расчетные значения и прогноз , полученные по временному ряду x_t представлены в табл.3.2 и графически — на рис. 3.4.

Рис. 3.4. Исходный ряд x_t и его оценки и .

 

Заслуживает внимание сопоставление статистических характеристик трендовой модели и модели Уинтерса . Эти модели характеризуются значениями остаточных среднеквадратических отклонений относительно исходного временного ряда x_t и соответственно равны и , а также средними относительными ошибками аппроксимации и .

Из приведенных характеристик и рис. 3.4 следует, что модель экспоненциального сглаживания с мультипликативной сезонностью Уинтерса более предпочтительна.

 

3.3. Прогнозирование объема производства железобетонных конструкций по модели Тейла-Вейджа

В табл. 3.3 представлены данные (x_t) об объеме производства в России сборных железобетонных конструкций по кварталам за 1994 и 1995 гг. (млн. куб. м.).

Таблица 3.3.