Исходные (xt) и расчетные значения количества родившихся

по кварталам (1994-1995гг.)

t	Год	Цикл kt	квартал (фаза цикла) nt	xt
					387,8	1,065	425,0
					381,8	0,969	381,0
					375,9	0,923	353,8
					369,9	0,906	336,2
					364,0	1,126	381,8
					358,0	1,042	349,1
					352,1	0,994	334,1
					346,1	0,965	327,4
				Прогноз			386,8

 

Требуется определить расчетные значения и прогноз (при t=9) количества родившихся, воспользовавшись моделью экспоненциального сглаживания с мультипликативной сезонностью и линейным ростом (модель Уинтерса) при периоде упреждения t=1 и параметрах адаптации a₁=0,2; a₂=0,3 и a₃=0,4.

 

Модель экспоненциального сглаживания с мультипликативной сезонностью и линейным ростом (модель Уинтерса)

 

Напомним, что сезонная модель с линейным ростом Уинтерса имеет вид:

(3.11)

где х_t — исходный временной ряд t=1,2,...,n;

a_1,t — параметр, характеризующий линейную тенденцию развития процесса, т.е. средние значения уровня исследуемого временного ряда х_t в момент t;

f_ntkt — коэффициент сезонности для n_t-й фазы k_t-го цикла; n_t=1,2,...,l; где n_t = t ‑ l×(k_t ‑ 1);

l — число фаз в полном цикле (в месячных временных рядах l=12, в квартальных — l=4 и т.д.);

e_t — случайная ошибка. Обычно предполагается, что вектор eÎN_n(0,s²I_n), где e=(e₁,...,e_t,...,e_n)^T;

I_n — единичная матрица размерности (n´n).

Адаптивные параметры модели (3.11) оцениваются с помощью рекуррентной экспоненциальной схемы по данным временного ряда x_t, состоящего из n наблюдений:

(3.12)

где a_2,t — прирост среднего уровня ряда от момента t ‑ 1 к моменту t;

— расчетное значение временного ряда, определяемое для момента времени t с периодом упреждения t, т.е. по данным момента (t‑t);

a₁, a₂ и a₃ — параметры адаптации экспоненциального сглаживания (0<a₁,a₂,a₃<1).

При этом, увеличение a_j (j=1,2,3) ведет к увеличению веса более поздних наблюдений, а уменьшение a_j — к улучшению сглаживания случайных отклонений. Эти два требования находятся в противоречии и поиск компромиссного сочетания значений a₁, a₂ и a₃ составляет задачу оптимизации модели.

Как следует из (3.12) экспоненциальное выравнивание всегда требует предыдущей оценки сглаживаемой величины. Когда процесс адаптации только начинается, то должны быть начальные значения, предшествующие первому наблюдению. В нашей задаче предстоит определить начальные условия: где n_t=1,2,...,l.

Таким образом, расчетные значения является функцией всех прошлых значений исходного временного ряда x_t, параметров a₁, a₂ и a₃ и начальных условий. Влияние начальных условий на расчетное значение зависит от величины весов a_j и длины ряда, предшествующего моменту t. Влияние и обычно уменьшается быстрее, чем , т.к. и пересматриваются на каждом шаге, а только один раз за цикл.

Решение. Первоначально по n=8 наблюдениям временного ряда x_t найдем МНК-оценку линейного тренда . В результате расчета имеем:

.

Определим начальные условия:

Мультипликативные коэффициенты сезонности нулевого цикла:

— определим как среднюю арифметическую индексов сезонности -й фазы в исходном временном ряду:

Расчеты будем проводить при параметрах адаптации a₁=0,2; a₂=0,3; a₃=0,4 и периоде упреждения t=1.

Расчетные значения для 1-го цикла (k_t=1, n_t=t)

 

при t=1 согласно (3.12) имеем

при t=2

при t=3

при t=4

Расчетные значения для 2-го цикла (k_t=2, n_t=t-4)

Здесь нам понадобятся коэффициенты сезонности, найденные для 1-го цикла: и .

при t=5

Т.к.относится ко 2-му циклу (k_t=2), при выборе исходили, что n_t=5-4=1.

при t=6

при t=7

при t=8

при t=9 (прогноз)

Полученные расчетные значения и прогноз , полученные по временному ряду x_t представлены в табл.3.2 и графически — на рис. 3.4.

Рис. 3.4. Исходный ряд x_t и его оценки и .

 

Заслуживает внимание сопоставление статистических характеристик трендовой модели и модели Уинтерса . Эти модели характеризуются значениями остаточных среднеквадратических отклонений относительно исходного временного ряда x_t и соответственно равны и , а также средними относительными ошибками аппроксимации и .

Из приведенных характеристик и рис. 3.4 следует, что модель экспоненциального сглаживания с мультипликативной сезонностью Уинтерса более предпочтительна.

 

3.3. Прогнозирование объема производства железобетонных конструкций по модели Тейла-Вейджа

В табл. 3.3 представлены данные (x_t) об объеме производства в России сборных железобетонных конструкций по кварталам за 1994 и 1995 гг. (млн. куб. м.).

Таблица 3.3.