Исходные и расчетные значения объема производства по кварталам

t	Год	Цикл kt	квар-тал (фаза цикла) nt	xt				zt= =lnxt	( zt)
				6,3	6,12	0,18	6,15	1,84	6,20
				5,8	5,97	-0,17	5,87	1,76	5,94
				5,7	5,82	-0,12	5,86	1,74	5,93
				5,8	5,67	0,13	5,63	1,76	5,73
				5,4	5,52	-0,12	5,61	1,69	5,53
				5,3	5,37	-0,07	5,24	1,67	5,19
				5,4	5,22	0,18	5,21	1,69	5,17
				5,0	5,07	-0,07	5,18	1,61	5,15
					Прогноз	4,95		5,06

Требуется по модели экспоненциального сглаживания с аддитивной сезонностью и линейным ростом (модель Тейла-Вейджа) определить расчетные значения и прогноз при t=9, приняв период упреждения t=1, а параметры адаптации равными a₁=0,1; a₂=0,4 и a₃=0,3.

Модель экспоненциального сглаживания с аддитивной сезонностью и линейным ростом (модель Г. Тейла и С. Вейджа).

Аддитивная модель, кроме самостоятельного значения в экономических исследованиях, интересна и тем, что позволяет строить модель с мультипликативной сезонностью и экспоненциальной тенденцией. Для этого необходима замена значений первоначального временного ряда их логарифмами, что преобразует экспоненциальную тенденцию в линейную и одновременно мультипликативную сезонную модель в аддитивную.

Пусть наблюдение x_t относится к n_t-й фазе k_t-го цикла, где n_t=t‑l×(k_t-1) и l— число фаз в цикле (для квартального временного ряда l=4, а для месячного l=12).

Модель с аддитивной сезонностью и линейным ростом можно представить в виде

(3.13)

где a_1,t — среднее значение уровня временного ряда в момент времени t после исключения сезонных колебаний;

a_2,t — аддитивный коэффициент роста от момента t‑1 к моменту t;

— аддитивный коэффициент сезонности для n_t-й фазы k_t-го цикла;

e_t — белый шум.

Оценки параметров модели (3.13) будем искать при коэффициентах сглаживания a₁, a₂ и a₃, где 0<a₁,a₂,a₃<1, по следующим процедурам адаптации:

(3.14)

где ‑расчетное значение временного ряда, определяемое для момента времени t с упреждением t, т.е. по данным момента (t‑t).

Начальные условия экспоненциального сглаживания определяют по исходному временному ряду x_t (t=1, 2, ..., n).

Находим МНК-оценку линейного уравнения регрессии

и примем . В качестве оценок принимают средние значения отклонений , соответствующих n_t-й фазе исходного временного ряда, где n_t=1,2,...,l.

Решение. Первоначально по временному ряду x_t, содержащему n=8 наблюдений, находим

Откуда .

В табл. 3.3 представлены расчетные значения и отклонения . Тогда начальные значения аддитивных коэффициентов сезонности равны:

Расчеты проведем при параметрах адаптации a₁=0,1; a₂=0,4; a₃=0,3 и периоде упреждения t=1.

Расчет модельных значений по 1994 г (Первый цикл: n_t=t; k_t=1; t=1)

Исходные данные для расчета: .

При t=1согласно (3.14) имеем:

При t=2

При t=3

При t=4

Расчет значений за 1995 г. (Второй цикл: n_t=t-4; k_t=2)

Исходные данные для расчета:

При t=5.При расчете учитывается, что 5-я точка относится ко

2-му циклу (k₅=2), поэтому n₅=t-l(k₅-1)=5-4(2-1)=1 и . Тогда

При t=6

При t=7

При t=8

При расчете прогнозного значения учитывалось, что момент t=9 принадлежит 3-му циклу, поэтому k₉‑1=2 и n₉=9-4×2=1, а . Тогда

Рассчитанные по модели Тейла-Вейджа, значения временного ряда представлены в табл. 3.3 и на рис.3.5, где они сопоставляются с исходным временным рядом x_t.

Рис. 3.5 Исходные x_t и расчетные значения временного ряда.

Как уже отмечалось, если с учетом модели (3.13) предположить, что z_t=ln(x_t) и z_t=a_1t+g_t+e_t1, то относительно x_t имеем модель экспоненциального сглаживания с мультипликативной сезонностью и экспоненциальным ростом

.

Тогда исходному временному ряду x_t ставится в соответствие расчетные значения .

В нашем примере, если предположить, что исходным является временной ряд z_t=ln(x_t), представленный в табл. 3.3, то — есть расчетные значения, полученные по модели экспоненциального сглаживания с мультипликативной сезонностью и экспоненциальным ростом.