Исходные и расчетные значения объема производства по кварталам

t	Год	Цикл kt	квар-тал (фаза цикла) n t	xt				zt= =lnxt	(zt)
				6, 3	6, 12	0, 18	6, 15	1, 84	6, 20
				5, 8	5, 97	-0, 17	5, 87	1, 76	5, 94
				5, 7	5, 82	-0, 12	5, 86	1, 74	5, 93
				5, 8	5, 67	0, 13	5, 63	1, 76	5, 73
				5, 4	5, 52	-0, 12	5, 61	1, 69	5, 53
				5, 3	5, 37	-0, 07	5, 24	1, 67	5, 19
				5, 4	5, 22	0, 18	5, 21	1, 69	5, 17
				5, 0	5, 07	-0, 07	5, 18	1, 61	5, 15
					Прогноз	4, 95		5, 06

 

 

Требуется по модели экспоненциального сглаживания с аддитивной сезонностью и линейным ростом (модель Тейла-Вейджа) определить расчетные значения и прогноз при t =9, приняв период упреждения t=1, а параметры адаптации равными a₁=0, 1; a₂=0, 4 и a₃=0, 3.

Модель экспоненциального сглаживания с аддитивной сезонностью и линейным ростом (модель Г. Тейла и С. Вейджа).

Аддитивная модель, кроме самостоятельного значения в экономических исследованиях, интересна и тем, что позволяет строить модель с мультипликативной сезонностью и экспоненциальной тенденцией. Для этого необходима замена значений первоначального временного ряда их логарифмами, что преобразует экспоненциальную тенденцию в линейную и одновременно мультипликативную сезонную модель в аддитивную.

Пусть наблюдение x_t относится к n_t-й фазе k_t -го цикла, где n _t = t‑ l× (k_t -1) и l — число фаз в цикле (для квартального временного ряда l =4, а для месячного l =12).

Модель с аддитивной сезонностью и линейным ростом можно представить в виде

(3.13)

где a _{1, t} — среднее значение уровня временного ряда в момент времени t после исключения сезонных колебаний;

a_{2, t} — аддитивный коэффициент роста от момента t ‑ 1 к моменту t;

— аддитивный коэффициент сезонности для n _t -й фазы k_t -го цикла;

e _t — белый шум.

Оценки параметров модели (3.13) будем искать при коэффициентах сглаживания a₁, a₂ и a₃, где 0< a₁, a₂, a₃< 1, по следующим процедурам адаптации:

(3.14)

где ‑ расчетное значение временного ряда, определяемое для момента времени t с упреждением t, т.е. по данным момента (t ‑ t).

Начальные условия экспоненциального сглаживания определяют по исходному временному ряду x_t (t =1, 2,..., n).

Находим МНК-оценку линейного уравнения регрессии

и примем . В качестве оценок принимают средние значения отклонений , соответствующих n _t -й фазе исходного временного ряда, где n _t =1, 2,..., l.

Решение. Первоначально по временному ряду x_t, содержащему n =8 наблюдений, находим

Откуда .

В табл. 3.3 представлены расчетные значения и отклонения . Тогда начальные значения аддитивных коэффициентов сезонности равны:

Расчеты проведем при параметрах адаптации a₁=0, 1; a₂=0, 4; a₃=0, 3 и периоде упреждения t=1.

Расчет модельных значений по 1994 г (Первый цикл: n _t = t; k_t =1; t=1)

Исходные данные для расчета: .

При t =1 согласно (3.14) имеем:

При t =2

При t =3

При t =4

 

Расчет значений за 1995 г. (Второй цикл: n _t = t -4; k_t =2)

Исходные данные для расчета:

При t =5. При расчете учитывается, что 5-я точка относится ко

2-му циклу (k ₅=2), поэтому n₅= t-l (k ₅-1)=5-4(2-1)=1 и . Тогда

При t =6

При t =7

При t=8

При расчете прогнозного значения учитывалось, что момент t =9 принадлежит 3-му циклу, поэтому k ₉‑ 1=2 и n₉=9-4× 2=1, а . Тогда

Рассчитанные по модели Тейла-Вейджа, значения временного ряда представлены в табл. 3.3 и на рис.3.5, где они сопоставляются с исходным временным рядом x_t.

Рис. 3.5 Исходные x_t и расчетные значения временного ряда.

 

Как уже отмечалось, если с учетом модели (3.13) предположить, что z_t = ln(x_t) и z_t = a_1t+g_t+e_t1, то относительно x_t имеем модель экспоненциального сглаживания с мультипликативной сезонностью и экспоненциальным ростом

.

Тогда исходному временному ряду x_t ставится в соответствие расчетные значения .

В нашем примере, если предположить, что исходным является временной ряд z _t = ln (x_t), представленный в табл. 3.3, то — есть расчетные значения, полученные по модели экспоненциального сглаживания с мультипликативной сезонностью и экспоненциальным ростом.