Полиномиальные модели курса акций
В табл. 3.1 представлен временной ряд xt курса акций компании IBM (в долл.), включающий n =30 наблюдений. Приняв коэффициент адаптации a=0, 5 и период упреждения t=1, требуется аппроксимировать ряд xt с помощью адаптивной полиномиальной модели: а) нулевого порядка (p =0); б) первого порядка (p =1); в) второго порядка (p =2); г) рассчитать прогнозные значения при t =31; д) сравнить адекватность моделей по величине остаточного среднеквадратического отклонения  .
Таблица 3.1.
Курс акций компаний IBM (в долл.) xt и расчеты по адаптивным полиномиальным моделям нулевого (p =0), первого (p =1)
и второго (p =2) порядков
|
|
| p =0
| p =1
| p =2
| | t
| xt
| S t
| 
| S t
| S t [2]
|
| S t
| S t [2]
| S t [3]
|
| |
|
| 506, 0
|
| 490, 6
| 489, 1
|
| 507, 2
| 508, 7
| 510, 3
|
| |
|
| 508, 0
| 506, 0
| 500, 3
| 494, 7
| 493, 6
| 508, 6
| 508, 6
| 509, 5
| 504, 9
| |
|
| 502, 5
| 508, 0
| 498, 6
| 496, 7
| 511, 5
| 502, 8
| 505, 7
| 507, 6
| 511, 8
| |
|
| 503, 2
| 502, 5
| 501, 3
| 499, 0
| 502, 6
| 503, 4
| 504, 6
| 506, 1
| 492, 8
| |
|
| 506, 6
| 503, 2
| 505, 7
| 502, 3
| 506, 0
| 506, 7
| 505, 7
| 505, 9
| 502, 5
| |
|
| 507, 8
| 506, 6
| 507, 3
| 504, 8
| 512, 5
| 507, 9
| 506, 8
| 506, 3
| 513, 9
| |
|
| 505, 4
| 507, 8
| 505, 2
| 505, 0
| 512, 3
| 505, 4
| 506, 1
| 506, 2
| 512, 5
| |
|
| 502, 7
| 505, 4
| 502, 6
| 503, 8
| 505, 6
| 502, 7
| 504, 4
| 505, 3
| 501, 7
| |
|
| 501, 4
| 502, 7
| 501, 3
| 502, 5
| 500, 2
| 501, 4
| 502, 9
| 504, 1
| 496, 1
| |
|
| 500, 7
| 501, 4
| 500, 6
| 501, 6
| 498, 9
| 500, 7
| 501, 8
| 503, 0
| 497, 2
| |
|
| 497, 8
| 500, 7
| 497, 8
| 499, 7
| 498, 6
| 497, 8
| 499, 8
| 501, 4
| 498, 9
| |
|
| 495, 9
| 497, 8
| 495, 9
| 497, 8
| 494, 0
| 495, 9
| 497, 8
| 499, 6
| 492, 2
| |
|
| 497, 5
| 495, 9
| 497, 5
| 497, 6
| 492, 1
| 497, 5
| 497, 7
| 498, 6
| 491, 7
| |
|
| 499, 7
| 497, 5
| 499, 7
| 498, 7
| 497, 3
| 499, 7
| 498, 7
| 498, 7
| 499, 9
| |
|
| 504, 4
| 499, 7
| 504, 4
| 501, 5
| 501, 7
| 504, 4
| 501, 6
| 500, 1
| 505, 7
| |
|
| 514, 7
| 504, 4
| 514, 7
| 508, 1
| 510, 2
| 514, 7
| 508, 1
| 504, 1
| 515, 2
| |
|
| 513, 3
| 514, 7
| 513, 3
| 510, 7
| 527, 9
| 513, 3
| 510, 7
| 507, 4
| 538, 3
| |
|
| 511, 7
| 513, 3
| 511, 7
| 511, 2
| 518, 5
| 511, 7
| 511, 2
| 509, 3
| 515, 7
| |
|
| 508, 8
| 511, 7
| 508, 8
| 510, 0
| 512, 7
| 508, 8
| 510, 0
| 509, 7
| 507, 1
| |
|
| 511, 9
| 508, 8
| 511, 9
| 511, 0
| 506, 4
| 511, 9
| 511, 0
| 510, 3
| 500, 4
| |
|
| 517, 0
| 511, 9
| 517, 0
| 514, 0
| 513, 7
| 517, 0
| 514, 0
| 512, 2
| 514, 5
| |
|
| 520, 0
| 517, 0
| 520, 0
| 517, 0
| 523, 0
| 520, 0
| 517, 0
| 514, 6
| 527, 8
| |
|
| 523, 5
| 520, 0
| 523, 5
| 520, 2
| 526, 0
| 523, 5
| 520, 2
| 517, 4
| 528, 4
| |
|
| 523, 2
| 523, 5
| 523, 2
| 521, 7
| 530, 1
| 523, 2
| 521, 7
| 519, 5
| 532, 1
| |
|
| 525, 6
| 523, 2
| 525, 6
| 523, 7
| 526, 2
| 525, 6
| 523, 7
| 521, 6
| 523, 4
| |
|
| 527, 3
| 525, 6
| 527, 3
| 525, 5
| 529, 4
| 527, 3
| 525, 5
| 523, 6
| 528, 6
| |
|
| 532, 7
| 527, 3
| 532, 7
| 529, 1
| 530, 9
| 532, 7
| 529, 1
| 526, 3
| 530, 5
| |
|
| 535, 8
| 532, 7
| 535, 8
| 532, 4
| 539, 9
| 535, 8
| 532, 4
| 529, 4
| 543, 1
| |
|
| 538, 4
| 535, 8
| 536, 4
| 535, 4
| 542, 6
| 538, 4
| 535, 4
| 532, 4
| 544, 2
| |
|
| 540, 7
| 538, 4
| 540, 7
| 538, 0
| 538, 4
| 540, 7
| 538, 1
| 535, 2
| 544, 4
| |
|
| 540, 9
| 540, 7
| 540, 8
| 539, 5
| 546, 1
| 540, 9
| 539, 5
| 537, 4
| 544, 7
| |
| Прогноз
| 540, 9
| 541, 0
| 540, 9
|
Решение. а) Адаптивная полиномиальная модель нулевого порядка (p=0).
экспоненциальная средняя имеет вид
S t = a xt + bSt-1, b = 1 - a.
Начальное условие:  где за  примем среднее значение, например, первых пяти наблюдений. Для нашего примера 
Расчетное модельное значение с периодом упреждения t будем определять из соотношения:
 (3.1)
Как уже отмечалось:  a=0, 5; t=1.
Тогда
при t =1
S1 = a× x 1 + (1-a)S0 = 0, 5× 510 + 0, 5× 506 = 508
 ,
при t =2
S1 = 0, 5× 497 + 0, 5× 508 = 502, 5
 ,
при t =3
S1 = 0, 5× 504 + 0, 5× 502, 5 = 503, 65
 .
Остальные результаты расчетов  где t =5, 6,..., 31 получены аналогично и приведены в табл. 3.1 (для модели (p =0)).
б) Адаптивная полиномиальная модель первого порядка (p =1).
Первоначально по данным временного ряда xt находим МНК-оценку линейного тренда:
и принимаем  и 
Экспоненциальные средние 1-го и 2-го порядков определяются как:
 (3.2)
где b=1‑ a.
Отсюда начальные условия:
 (3.3)
Оценка модельного значения ряда с периодом упреждения t равна:
 (3.4)
Для нашего примера при a=0, 5 и t=1 имеем:
 (3.5)
МНК-оценка уравнения тренда имеет вид:
откуда  и 
Согласно (3.3) получим:
 .
С учетом (3.5) найдем:
При t =1 экспоненциальные средние равны:
Откуда:
При t =2 имеем:
 .
Остальные результаты расчетов где t =4, 5,..., 31 получены аналогично и приведены в табл. 3.1 (для модели p =1).
в) Адаптивная полиномиальная модель второго порядка (p =2).
По данным временного ряда xt находим МНК—оценку параболического тренда
и экспоненциальные средние 1-го, 2-го и 3-го порядков:
Начальные условия определим как:
 (3.7)
где  и  .
Оценка модельного значения с периодом упреждения t находим из выражения
 (3.8)
Для нашего примера, когда a=b=0, 5 и t=1, выражения (3.7) и (3.8) преобразуются к виду
МНК-оценка уравнения тренда равна
откуда:  .
Согласно (3.9) получим начальные условия:
Из (3.10) следует:
При t =1согласно (3.6) имеем
откуда из (3.10):
При t =2 с учетом (3.6):
откуда согласно (3.10):
 .
При t =3 с учетом (3.6)
Остальные результаты расчетов при t =4, 5,..., 30 получены аналогично и приведены в табл. 3.1 (для модели p =2).
г) Прогнозные значения по адаптивным полиномиальным моделям равны (табл. 3.1):
как видим они практически совпадают.
д) остаточные среднеквадратические отклонения для моделей соответственно равны: 6, 3; 7, 4 и 8, 1. Из этого следует, что адаптивная полиномиальная модель нулевого порядка наиболее адекватна процессу xt.
Рис. 3.1 Исходный (xt) и модельный  ряд курса акций IBM (долл.). Адаптивная полиномиальная модель 0-го порядка(p =0).
Рис. 3.2 Исходный (xt) и модельный ряд курса акций IBM (долл.). Адаптивная полиномиальная модель 1-го порядка(p =1).
Рис. 3.3 Исходный (xt) и модельный  ряд курса акций IBM (долл.). Адаптивная полиномиальная модель 2-го порядка(p =2).
Однако сопоставляя исходные хt и модельные значения временного ряда (рис. 3.1, 3.2 и 3.3) можно предположить, что прогностические свойства адаптивных полиномиальных моделей 1-го и 2-го порядка лучше, чем нулевого. Это следует из близости значений  и в последних пяти точках временного ряда (при t =26¸ 30). На этом интервале остаточные среднеквадратические отклонения s для полиномиальных моделей нулевого (p =0), первого (p =1) и второго (p =2) порядков соответственно равны 6, 36; 4, 49 и 4, 45. В этой связи предпочтение следует отдать полиномиальной модели первого порядка, т.к. она проще и практически не отличается по точности от модели второго порядка.
Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...
|
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при которых тело находится под действием заданной системы сил...
|
Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...
|
Логические цифровые микросхемы Более сложные элементы цифровой схемотехники (триггеры, мультиплексоры, декодеры и т.д.) не имеют...
|
Образование соседних чисел Фрагмент:
Программная задача: показать образование числа 4 и числа 3 друг из друга...
Шрифт зодчего Шрифт зодчего состоит из прописных (заглавных), строчных букв и цифр...
Краткая психологическая характеристика возрастных периодов.Первый критический период развития ребенка — период новорожденности Психоаналитики говорят, что это первая травма, которую переживает ребенок, и она настолько сильна, что вся последующая жизнь проходит под знаком этой травмы...
|
Индекс гингивита (PMA) (Schour, Massler, 1948) Для оценки тяжести гингивита (а в последующем и регистрации динамики процесса) используют папиллярно-маргинально-альвеолярный индекс (РМА)...
Методика исследования периферических лимфатических узлов. Исследование периферических лимфатических узлов производится с помощью осмотра и пальпации...
Роль органов чувств в ориентировке слепых Процесс ориентации протекает на основе совместной, интегративной деятельности сохранных анализаторов, каждый из которых при определенных объективных условиях может выступать как ведущий...
|
|
