На основании данных (в млн.руб.) объема продаж торгового дома за n =12 месяцев (табл.2.3) построить регрессионную модель зависимости объема продаж от времени.
Таблица 2.3.
Данные объема продаж (млн.руб.)
месяц
| t
| yt
|
|
|
|
|
январь
|
|
| 241, 15
| ‑ 41, 15
| 201, 84
| ‑ 1, 84
|
февраль
|
|
| 252, 30
| 57, 69
| 303, 89
| 6, 11
|
март
|
|
| 263, 46
| 56, 53
| 323, 06
| ‑ 3, 06
|
апрель
|
|
| 274, 61
| ‑ 14, 61
| 258, 28
| 1, 71
|
май
|
|
| 285, 76
| ‑ 95, 76
| 192, 45
| ‑ 2, 45
|
июнь
|
|
| 296, 92
| ‑ 86, 92
| 209, 50
| 0, 49
|
июль
|
|
| 308, 07
| 1, 92
| 310, 49
| ‑ 0, 49
|
август
|
|
| 319, 23
| 90, 76
| 412, 54
| ‑ 2, 55
|
сентябрь
|
|
| 330, 38
| 99, 61
| 431, 71
| ‑ 1, 71
|
октябрь
|
|
| 341, 53
| 28, 46
| 366, 93
| 3, 06
|
ноябрь
|
|
| 352, 69
| ‑ 52, 69
| 301, 10
| ‑ 1, 10
|
декабрь
|
|
| 363, 84
| ‑ 43, 84
| 318, 16
| 1, 84
|
Графически временной ряд объема продаж торгового дома yt и линейный тренд
представлены на рис.2.2.

Рис.2.2. Временной ряд объема продаж yt.
Решение. Первоначально аппроксимируем временной ряд линейным уравнением регрессии вида:
.
Оценка уравнения регрессии, найденная с помощью метода наименьших квадратов имеет вид:
(2.7)
В скобках указаны оценки среднеквадратических отклонений коэффициентов уравнения
(j =0, 1) Уравнение значимо и содержит все значимые по t -критерию коэффициенты q j. Критическое значение t kp=2, 23, найденное при a=2Q=0, 05 и n= n‑ 2=10, где Q ‑ процентная точка t -распределения, меньше расчетного
.
Статистические характеристики уравнения:
;
и DW=1, 01 свидетельствуют о наличии положительной коррелированности случайных остатков и о недостаточно хороших аппроксимирующих свойствах модели. Анализируя рис.2.2, где представлены графики yt и
, можно предположить наличие периодической (сезонной) составляющей временного ряда.
Для описания сезонных колебаний, представляющих собой циклический повторяющийся во времени процесс, может быть использован гармонический ряд (ряд Фурье) вида:
(2.8)
где
;
‑ угловая частота j -ой гармоники; j =1, 2,..., k ‑ номер гармоники; e t ‑ случайная ошибка.
Из рис.2.2 видно, что обследуемый временной диапазон n =12 вмещает в себя два полных периода циклических колебаний анализируемого показателя. Отсюда можно предположить, что для адекватного описания vt в (2.8) достаточно второй гармоники (j =2) с угловой частотой
.
Первоначально включим в модель объема продаж две гармоники с угловыми частотами
и w2. Будем строить линейное уравнение регрессии относительно следующих переменных: t,
,
,
и
. В результате расчетов получим:
(2.9)
Уравнение (2.9) содержит два незначимых коэффициента регрессии, относящихся к 1-й гармонике (t kp=2, 447 при a=0, 05 и n=6). Статистические характеристики уравнения (2.9) равны:
;
;
и DW=3, 32. После реализации процедур в качестве окончательного было выбрано уравнение регрессии вида:
(2.10)
Все входящие в уравнение коэффициенты значимы, т.е. qj¹ 0 (j =0, 1, 2, 3). Как видно из (2.10), расчетные значения
больше критического значения t kp=2, 306, найденного по таблице t -распределения при a=2Q=0, 05 и n=8, из чего следует, что гипотеза H0: q j =0 отвергается с вероятностью ошибки a=0, 05.
Уравнение (2.10) характеризуется остаточным среднеквадратическим отклонением
; множественным коэффициентом детерминации
; средней относительной ошибкой аппроксимации
и статистикой Дарбина-Уотсона DW=3, 025, что свидетельствует об адекватности модели. Полученные характеристики особенно впечатляют при их сравнении с аналогичными параметрами модели (2.7).