Глава 5. Задачи и упражнения

5.1. Доказать, что если в регрессионной модели

, где Me _i =0, De _i =s² и Me _i e _j =0 при i ¹ j, i, j =1, 2,..., n, то матрица весов в ОМНК имеет вид

 

5.2. По данным задачи 5.1 доказать, что ОМНК-оценка вектора q=(q₀× q₁)^Т определяется по формуле .

 

5.3. Пусть имеется l серий наблюдений, причем каждая i- я серия состоит из n_i наблюдений (x_ij, y_ij), где i= 1, 2, …, l; j= 1, 2, …, n_i, связанных соотношением

_ij,

где – взаимно некоррелированы и M _ij=0; D _ij = .

Доказать, что если x_i = x_i1 = x_i2 =… , а у_i= ,

т.е. имеет место неравномерное дублирование наблюдений, то оценку параметров регрессионной модели

_i

 

следует производить по обобщенному (взвешенному) МНК с матрицей весовых коэффициентов вида:

 

 

5.4. Доказать, что в условиях задачи 5.1 в обобщенном методе наименьших квадратов (ОМНК) ковариационная матрица вектора имеет вид .

 

5.5. При проведении актуарных расчетов компания, специализирующаяся на автотранспортном страховании, проанализировала n =20 произвольно отобранных страховых случаев, по каждому из которых фиксировались стоимость застрахованного автомобиля (х) и объем страховых возмещений (у). Данные наблюдений представлены в табл.5.1. Требуется определить и сравнить по точности МНК- и ОМНК-оценки параметров линейной модели регрессии .

При ОМНК-оценивании предполагается наличие гетероскедастичности, когда погрешности модели попарно независимы и , где e _i Î N(0, s²).

Таблица 5.1.