Две точки ( A1 и A2) принадлежат разным звеньям (1 и 2), образующим поступательную пару, и в данный момент совпадают

где ω - угловая скорость звена, на котором расположены рас­сматриваемые точки, с^-1.

- расстояние между рассматриваемыми точками, м;

- линейная скорость движения точки В относительно точки А, м/с.

Тангенциальная составляющая направлена по ка­сательной к дуге окружности, проведенной из точки А радиусом АВ, то есть перпендикулярно прямой АВ. Направление стрелки вектора соответствует направлению углового ускорения ε звена и наоборот.

Величину тангенциальной составляющей ускорения можно определить по формуле

, (7.8)

где ε - угловое ускорение звена, на котором расположены рассматриваемые точки, с^-2; l _ВА - расстояние между точками В и А, м.

2. Две точки (A₁ и A₂)принадлежат разным звеньям (1 и 2), образующим поступательную пару, и в данный момент совпадают.

Ускорение одной точки (например точки A₁) известно. Требуется определить ускорение другой точки (точки A₂ ).

Составляем векторное уравнение ускорений:

(7.9)

где соответственно векторы ускорений точки A₂,

точки A₁ и точки A₂ относительно условно неподвижной точки A₁, взятой в качестве полюса. Ускорение точки A₂ относительно точки A₁ можно рассмотреть на рис. 7.4.

Рис. 7.4. Ускорение в относительном движении двух точек, принадлежащих разным звеньям, входящим в поступательную пару

Для удобства определения ускорений ускорение в отно­сительном движении рассматриваемых точек в этом случае раскладывают на две составляющие: кориолисово ускорение и релятивное ускорение .

Уравнение (7.9) при этом принимает следующий вид:

(7.10)

Кориолисово ускорение появляется вследствие того, что переносное движение является вращательным. Кориолисово ускорение при плоском движении звеньев можно вычислить по формуле:

(7.11)

Для определения направления кориолисова ускорения необходимо вектор относительной скорости повернуть на 90° по направлению угловой скорости звеньев (рис. 7.5). Полученное направление вектора совпадает с направле­нием вектора кориолисова ускорения .

Порядок рассмотрения точек звеньев механизма при построении плана ускорений остается тем же, что и при по­строении плана скоростей: вначале рассматривают точки входного звена, то есть того звена, закон движения которого задан. Затем рассматривают точки первой присоединенной к входному звену и стойке структурной группы звеньев, потом второй структурной группы и так далее.

Рис. 7.5. Картина определения направления вектора кориолисова ускорения

Ускорения точек звеньев находят на основании вектор­ных уравнений ускорений. При рассмотрении точек структур­ных групп составляют систему двух векторных уравнений ус­корений. В каждом уравнении выражают ускорение точки, связанной со средней кинематической парой структурной группы. При этом в качестве полюса принимают для одного уравнения одну точку, а для другого уравнения другую точку, которые относятся к крайним кинематическим парам рассмат­риваемой структурной группы; ускорения точек, взятых в ка­честве полюса, должны быть известны.

Входное звено механизма обычно совершает вращатель­ное движение относительно стойки. Считают, что это движе­ние является равномерным. Частота вращения входного звена " n_l" дана. Угловую скорость " ω ₁" находят по формуле (2.4).

7.3. Задание на практическое занятие № 7

Выполнить кинематическое исследование заданного на рис.7.6 плоского четырехзвенного механизма методом построения плана скоростей и ускорений.

Номер схемы студенту задает преподаватель. На схеме показано направление вращения входного звена. Частота вращения входного звена n=150 мин^-1. Кинематические схемы на рис. 7.6 изображены в масштабе длин μ _l = 0, 004 м / мм (м 1: 4).

Рис. 7.6

Рис. 7.6. (Продолжение)

Рис.7.6. (Окончание)

7.4. Последовательность выполнения задания №7

Изобразить заданную кинематическую схему четырехзвенного плоского механизма (рис.7.6). Обозначить на схеме номера всех звеньев. Обозначить прописными (большими) бу­квами все точки, совпадающие с кинематическими парами, скорости и ускорения которых будут определены методом по­строения плана скоростей и ускорений механизма. Предста­вить все формулы, вычисления и векторные уравнения, необ­ходимые для построения плана скоростей и ускорений.

7.5. Пример выполнения задания № 7

Задание:

Выполнить построение плана скоростей и плана ускорений плоского четырехзвенного механизма, схема которого в масштабе длин (М 1: 4) представлена на рис. 7.7. Входное звено механизма - кривошип АВ. Частота вращения входного звена n₁ = 150мин^-1. Направление вращения входного звена на схеме показано.

Рис. 7.7. Кинематическая схема плоского четырехзвенного кривошипно-ползунного механизма

Решение:

Выполняем построение плана скоростей

Вычисляем по формуле (2.4) угловую скорость входного звена 1:

Измеряем длину входного звена - кривошипа 1 на ки­нематической схеме механизма: AB= 17, 5 мм. Учитывая маc-штаб длин схемы, вычисляем истинную длину звена AB по формуле

Определяем теперь линейные скорости точек звеньев путем построения плана скоростей механизма (рис. 7.8). Изо­бражаем точку " р" полюса плана скоростей. Из этой точки будем проводить векторы абсолютных скоростей точек звеньев механизма. Точки на концах этих векторов необходи­мо обозначить строчными (малыми) буквами, соответствую­щими рассматриваемым точкам схемы механизма.

Рис. 7.8. План скоростей кривошипно-ползунного механизма

Рассматриваем вначале скорости точек входного звена AB. Скорость точки А равна нулю, так как эта точка неподвижна при работе механизма: Va= 0. Вектор скорости на плане скоростей поэтому отсутствует; точка а на плане ско­ростей совпадает с полюсом р.

Для определения скорости точки В составляем вектор­ное уравнение скоростей (7.1): . Так как

V_A=0, то .

Величину этой скорости определяем по формуле (7.2):

Вектор (рис. 7.8) перпендикулярен линии BA звена на схеме механизма и направлен в сторону заданной угловой скорости этого звена (рис. 7.7). Задаемся длиной этого вектора в зависимости от наличия места для плана скоростей и прово­дим этот вектор. Принимаем, например, pa = 32 мм. Тогда масштаб плана скоростей будет:

.

Рассматриваем далее точки структурной группы звеньев 2-3: В, С и C₄. В поступательной кинематической паре соединения звеньев 3 и 4 обозначены две точки: подвижная точка С, принадлежащая звену 3, и неподвижная точка C₄, принадлежащая звену 4 (стойке). Обе эти точки в рассматриваемое мгновение по положению совпадают.

Скорость точки С необходимо определить. Скорости же двух остальных точек известны: скорость точки В найдена и ее вектор на плане скоростей уже проведен, скорость же точки С₄ стойки равна нулю, поэтому на плане скоростей обозначаем

точку С₄, совпадающую с полюсом плана - точкой p (рис. 7.8).

Составляем систему двух векторных уравнений скоро­стей:

. (7.12)

Приравниваем правые части этих двух уравнений (7.12), так как левые части их равны:

.

Так как , то полученное уравнение можно пред­ставить в виде:

. (7.13)

В этом уравнении абсолютная скорость уже известна, а скорости в относительном движении точек и известны только по направлению. Так как точки С и В принадлежат одному и тому же звену 2, то перпендикулярна прямой линии CB схемы механизма. Так как точки С и C₄ совпадают по положению и принадлежат разным звеньям, входящим в поступательную пару, то параллельна

на­правляющей относительного поступательного движения звеньев 3 и 4, то есть параллельна линии AC механизма (рис.7. 7).

В соответствии с уравнением (7.13) из конца вектора скорости точки b (рис.7.8) - проводим линию вектора скорости перпендикулярно прямой линии CB (рис. 7.7) схемы механизма. Из точки C₄, совпадающей с полюсом пла­на скоростей p (рис. 7.8), проводим линию вектора параллельно направляющей относительного поступательного движения звеньев 3 и 4, то есть параллельно линии AC меха­низма (рис. 7.7). Находим точку пересечения этих двух линий. Это точка с плана скоростей. В соответствии с уравнением (7.13) обозначаем векторы скоростей на плане скоростей. Из­меряем длины полученных векторов скоростей: cb = 28 мм, _, рс = 26 мм.

Вычисляем величины неизвестных скоростей:

Выполняем построение плана ускорений

Рассматриваем заданную схему кривошипно-ползунного механизма (рис. 7.9). Рядом изображаем точку π полюса плана скоростей (рис. 7.10). Из этой точки будем проводить векторы абсолютных ускорений точек звеньев механизма. Точки на концах этих векторов необходимо обозначить строчными (малыми) буквами, соответствующими рассматриваемым точ­кам схемы механизма.

Рассматриваем вначале ускорения точек входного звена АВ. Ускорение точки А равно нулю, так как эта точка не­подвижна при работе механизма: а_А = 0. На плане ускорений вектор ускорения поэтому отсутствует; точка а на плане ускорений совпадает с полюсом π.

Для определения ускорения точки В составляем векторное уравнение ускорений (7.5)

.

Рис. 7.9. Кинематическая схема плоского четырехзвенного кривошипно-ползунного механизма

Рис. 7.10. План ускорений кривошипно-ползунного механизма

Величину тангенциальной составляющей ускорения определяем по формуле (7.8)

где ε - угловое ускорение звена, на котором расположены рассматриваемые точки, с^-2;

- расстояние между точками В и А, м.

По заданию вращение входного звена механизма (кри­вошипа АВ) равномерное, поэтому тангенциальная составляющая ускорения точки В относительно точки А равна нулю. Так как

Величину этого ускорения определяем по формуле

(7.6):

Вектор (рис. 7.10) параллелен линии BA звена на схеме механизма и направлен от точки В, движение которой рассматривается, к точке А, принятой в качестве полюса (рис. 7.9). Задаемся длиной этого вектора в зависимости от наличия места для плана ускорений и проводим этот вектор.

Принимаем, например, . Тогда масштаб плана ускорений будет:

Рассматриваем далее точки структурной группы звеньев 2-3: В, С и C₄.В поступательной кинематической паре соединения звеньев 3 и 4 обозначены две точки: подвижная точка С принадлежащая звену 3, и неподвижная точка C₄, принадлежащая звену 4 (стойке). Обе эти точки в рассматриваемое мгновение по положению совпадают.

Ускорение точки С необходимо определить. Ускорения же двух остальных точек известны: ускорение точки В найдено и его вектор на плане ускорений уже проведен, ускорение же точки C₄ стойки равно нулю. На плане ускорений обозначаем точку с₄, которая совпадает с полюсом плана - точкой π (рис. 7.10).

Используя зависимости (7.5) и (7.10), составляем систему двух векторных уравнений ускорений

.

.

Приравниваем правые части этих двух уравнений, так как левые части их равны:

(7.14)

Вычисляя кориолисово ускорение по формуле (7.11), видим, что оно равно нулю, так как ползун 3 и направляющая стойки 4, входящие в поступательную кинематическую пару, вращательного движения совершать не могут: .

Так как и , то уравнение (7.14) можно представить в виде:

(7.15)

Величину и направление нормальной составляющей ус­корения можно определить. Величину этого ускорения определяем по формуле (7.7):

Вектор (рис. 7.10) параллелен линии CB звена на

схеме механизма и направлен от точки С, движение которой рассматривается, к точке В, принятой в качестве полюса (рис. 7.9).

Так как по уравнению (7.15) эту составляющую необходимо прибавить к ускорению , то на плане ускорений

точка b на конце вектора будет началом вектора . Определяем длину этого вектора с учетом принятого масштаба плана ускорений:

Проводим этот вектор. По уравнению (7.15) необходимо далее прибавить вектор тангенциальной составляющей ускорения , поэтому из точки nплана ускорений (рис. 7.10) проводим линию вектора ; направление этого вектора известно: он перпендикулярен прямой CB схемы механизма (рис. 7.9), а величину вычислить по формуле (7.8) не представляется возможным, так как угловое ускорение звена CBнеизвестно.

По уравнению (7.15) на плане ускорений необходимо провести еще релятивное ускорение , направление которого известно: оно параллельно направляющей относительного поступательного движения звеньев 3 и 4, то есть параллельно линии AC механизма (рис. 7.9). Величина вектора неизвестна. Этот вектор должен соединять на плане ускорений точки c₄и с. Поэтому из точки c₄, совпадающей с полюсом плана ускорений π (рис. 7.10), проводим линию вектора , параллельно направляющей относительного поступательного движения звеньев 3 и 4, то есть параллельно линии AC механизма (рис. 7.9). Находим точку пересечения этой линии с линией вектора . Это точка с плана ускорений. В соответствии с уравнением (7.15) обозначаем векторы ускоре­ний на плане ускорений. Измеряем длины полученных векто­ров ускорений:

Вычисляем величины неизвестных ускорений:

7.6. Вопросы для проверки знаний

1. Что называют планом скоростей механизма?

2. Скорости каких точек звеньев находят при построении плана скоростей механизма?

3. Какие два случая расположения рассматриваемых точек встречаются при построении плана скоростей механизма?

4. Какой вид имеет формула, связывающая угловую скорость звена и частоту его вращения?

5. По какой формуле можно вычислить линейную скорость точки кривошипа?

6. Какой вид имеет векторное уравнение, связывающее скорости двух точек, принадлежащих одному звену?

7. Какой вид имеет векторное уравнение, связывающее скорости двух совпадающих точек, принадлежащих двум звеньям, образующим поступательную кинематическую пару?

8. В какой последовательности рассматриваются точки звеньев при построении плана скоростей плоского механизма?

9. Какую размерность имеет масштаб плана скоростей ме­ханизма?

10. С какой целью определяют линейные скорости точек звеньев?

11. Что называют планом ускорений механизма?

12. Ускорения каких точек звеньев находят при построении плана ускорений механизма?

13. Какие два случая расположения рассматриваемых точек встречаются при построении плана ускорений механизма?

14. Какой вид имеют формулы для вычисления нормальной составляющей ускорения в относительном движении двух точек, принадлежащих одному звену и разделенных каким то расстоянием?

15. Как направлен вектор нормальной составляющей ускорения в относительном движении двух точек, принадлежащих одному звену?

16. Какой вид имеет векторное уравнение, связывающее ускорения двух точек, принадлежащих одному звену?

17. Какой вид имеет векторное уравнение, связывающее ускорения двух совпадающих точек, принадлежащих двум звеньям, образующим поступательную кинематическую пару?

18. Какой вид имеет формула для вычисления тангенциальной составляющей ускорения в относительном движении двух точек, принадлежащих одному звену?

19. Как направлен вектор тангенциальной составляющей ускорения в относительном движении двух точек, принадлежащих одному звену?

20. По какой формуле вычисляют кориолисово ускорение в относительном движении двух совпадающих точек, принадлежащих, двум звеньям, образующим поступательную кинематическую пару?

21. Как определяют направление вектора кориолисова ускорения в относительном движении двух точек, принадлежащих двум звеньям, образующим поступательную кинематическую пару?

22. Как направлен вектор релятивного ускорения в относительном движении двух точек, принадлежащих двум звеньям?

23. В какой последовательности рассматриваются точки звеньев при построении плана ускорений плоского механизма?

24. Какую размерность имеет масштаб плана ускорений механизма?

25. С какой целью определяют линейные ускорения точек звеньев?

8. КИНЕТОСТАТИЧЕСКИЙ (СИЛОВОЙ) РАСЧЕТ ПЛОСКОГО МЕХАНИЗМА

8.1. Силы и моменты сил, действующие на

звенья механизма, последовательность силового расчета механизма

Силовой расчет механизмов заключается в определении сил и моментов сил, действующих на звенья. Величины сил и моментов сил, действующих на звенья, используются для дальнейших расчетов деталей механизмов на прочность и оп­ределения деформации упругих элементов. По величине сил, действующих в кинематических парах механизма, устанавли­вают потери на трение и определяют коэффициент полезного действия механизма.

В дальнейшем будут называться лишь силы, однако изла­гаемые сведения относятся и к моментам сил.

Силы, действующие на звенья, условно делят на две группы: движущие силы и силы сопротивления. Силы движущие (F_д) — это силы, которые создают и поддерживают движение; работа этих сил положительна. Примеры этих сил: сила давления жидкости на поршень гидроцилиндра, сила дав­ления сжатого воздуха на поршень пневмоцилиндра, сила давления газов при сгорании топлива на такте рабочего хода двигателя внутреннего сгорания автомашины, тепловоза, трак­тора, экскаватора, вертолета.

Силы сопротивления (F_c)- это силы, которые препятствуют движению звеньев механизма; работа этих сил отрицательна. Силы сопротивления могут быть полезными и вредными.

Силы полезных сопротивлений (F_пс) - это силы, для

преодоления которых предназначена машина или прибор (на­пример, сила тяжести маятника часов, силы сопротивления материала его резанию в металлорежущих или деревообраба­тывающих станках, силы сопротивления материала его дефор­мации при прессовании и др.).

Силы вредных сопротивлений (F_ис) - это силы, на преодоление которых непроизводительно затрачивается работа движущих сил (например, силы трения в кинематических парах механизма).

Кроме сил движущих и сил сопротивления в механизме действуют также силы тяжести и силы инерции звеньев, а также внутренние силы - силы давления (реакции) в кинематических парах.

Сила тяжести звена (G)может быть найдена по формуле

(8.1)

где т - масса звена, кг.; g - ускорение свободного падения .

В общем случае при любом виде движения звена для учета действия сил инерции можно определять силу инерции звена (F_u)_, приложенную в центре тяжести, и момент сил

инерции звена (M_u)_, действующий на звено, по следующим формулам:

(8. 2)

(8.3)

где т - масса звена, кг; a_s - ускорение точки центра тяжести звена, м/с;

I_s - момент инерции звена относительно его центра тяжести, кг м²;

ε - угловое ускорение звена, с^-1.

Вектор силы инерции звена направлен в сторону, противоположную вектору ускорения центра тяжести звена. Момент сил инерции звена направлен в сторону,