Синтаксис языка предикатов первого порядка

Предикатом или логической функцией называется функция от любого количества () аргументов, принимающая значения 1 (истина) и 0 (ложь) ( -местный предикат).

Алфавит языка предикатов первого порядка:

- разделители: запятая - “, ”, открывающая скобка - “(”, закрывающая скобка - “)”;

- константы – строчные буквы – “ ”, …;

- переменные – прописные (заглавные) буквы – “ ”, …;

- предикаты – заглавные буквы;

- функции (не предикаты) – строчные буквы – “ ”, …;

- логические операции:

1) Ø - отрицание,

2) Ù - коньюнкция,

3) Ú - дизъюнкция,

4) ® - импликация (если…то…),

5) «- эквивалентность (…тогда и только тогда, когда…),

6) $ - квантор существования (сушествует…),

7) " - квантор общности (для любого…).

Выражение “первого порядка” связано с формулами, в которых запрещается квантифицировать символы предикатов и функций.

Формулой алгебры логики (пропозициональной формой) называют всякое высказывание, составленное из некоторых исходных высказываний посредством логических операций.

Терм – выражение, включающее константы, переменные и n -местные функции от термов.

Атом – элементарная функция – это выражение, включающее константы, переменные, функции и предикаты.

Правильная формула (ПФ) – это атом, Ø , Ú , Ù , ($ ) , (" ) , где , – ПФ; – переменная; ($ ) означает: существует , для которогот справедливо ; (" ) означает: для любого справедливо .

Правило вывода – процедура, которая из одной или нескольких ПФ

дефект =1/0+0.5/1+0/2, =малый = 1/0+0.5/1+0/2.

Для получения нечеткого множества, соответствующего текущему углу поворота манипулятора как логического следствия, в качестве нечеткого бинарного отношения воспользуемся выражением

( () ())=( ´ ´ )Ç (Ø ´ ´ Ø ),

где обозначает -логику. Или ( () ()) = ()

())Ù ((1-()) (1- ()) ] /(, ). По аналогии с (10.5)

 

1, если ()= (),

(, ) = (10.14) 0, если ()¹ ().

Согласно этой формуле и (10.10), (10.12) строим матрицу отношений ( () ()) - табл. 10.8. На основе табл. 10.8 рассчитываем

 

Таблица 10.8. Матрица отношений ( () ())

 

 

нечеткое множество , определяющее угол поворота, в соответствии с текущим = по аналогии с - (10.8):

= ( ())o ( (), ())= o ( () ()). (10.15)

Так как конкретное значение угла поворота связано с параметром ,

задаем Î ½ ()= (), = . Подставляя в выражение

= [( ()-1) ] ê, (10.16)

находим

Таблица 1.1. Эквивалентные ПФ

 

Исходная ПФ	Эквивалентная ПФ	Вид закона
Ø (Ø )
®	Ø Ú
«	( ® )Ù ( ® )
Ø ( Ù )	Ø Ú Ø	Закон де Моргана
Ø ( Ú )	Ø Ù Ø	Закон де Моргана
Ù ( Ú )	( Ù )Ú ( Ù )	Закон дистрибутивности
Ú ( Ù )	( Ú )Ù ( Ú )	Закон дистрибутивности
Ú	Ú	Закон коммутативности
Ù	Ù	Закон коммутативности
( Ú )Ú	Ú ( Ú )	Закон ассоциативности
( Ù )Ù	Ù ( Ù )	Закон ассоциативности
®	Ø ® Ø	Контрапозиционный закон
Ù Ø
Ú Ø
Ù 0
Ù 1
Ú 0
Ú 1
Ø ($ ())	" (Ø ())
Ø (" ())	$ (Ø ())
" ( ()Ù ())	" ()Ù " ()
$ ( ()Ú ())	$ ()Ú $ ()
" ()	" ()	Закон немых переменных
$ ()	$ ()	Закон немых переменных

 

 

Ú Ø (, )Ú ()Ú Ø (, (, ))Ú (, ))).

Если учесть, что все переменные в ПФ связаны, то кванторы общности относятся ко всей матрице и их можно опустить. Остается матрица. В ней коньюнкции ПФ можно заменить на множество ПФ (по числу символов коньюнкции плюс единица). Пример для последней формулы:

……………………………………………………………………………………

9¹. = =9, = =1; () =0.1, () = 0.1; (, ) = = () =1;

10¹. = =10, = =1; ()=0, ()=0.1; (, ) =1-

- () = 0.9 и т.д.

При любых текущих = , = по формулам (10.3), (10.2) находим текущие нечеткие множества , . Для нахождения = воспользуемся формулой “композиционного вывода”

= ( ())= ( ())o ( (), ())=

= o ( () ())= ( ()Ù (, ))/ . (10.8)

В качестве входного параметра для определения угла поворота манипулятора-сортировщика вводим нечеткое множество , формирующее лингвистическую переменную ”КАЧЕСТВО2” в виде тройки

={< , , > }, Î (), = .

Значения переменной ”КАЧЕСТВО2” показаны в табл. 10.6. Для

 

Таблица 10.6. Значения переменной " КАЧЕСТВО2"

 

Значение переменной ”КАЧЕСТВО2”	Î
Неустранимый дефект
Возможна повторная обработка
На следующую операцию

отображения ® зададим следующее. Пусть = È È . При этом Ç Ç =Æ, например, ={0, 1, …, 4}, = {5, 6, 7}, ={8, 9, 10}.

Отметим, что $ Î ½ ()= () – “сильнейший” (с наибольшим значением ()). Осуществим переход, связывающий множества , , с тремя положениями манипулятора-сортировщика:

0, если Î ,

= 1, если Î , (10.9)

2, если Î .

 

()| }. После выполнения п.1 находим = { | , (, (), )| }. Пункт 2 дает = { | , ()| , ()| }. Результатом п.3 является ={ | , (, (), )| , | , ()| , ()| }. Очевидно, что применение к литералу последовательно замен и дает такой же результат, что и применение замены .

В общем случае o ¹ o . Композиция замен ассоциативна: ( o )o = o( o ).

Множество выражений { } = { } является унифицируемым, если существует такая замена (унификатор), что все оказываются идентичными. Пример: = { | , | , | , | , | , ()| },

{ } ={ (, (), ()), (, (), ()), (, (), ()), (,

(), )}. Для имеем: = (, (), ()), = = (, (), ()), …. Значит, - унификатор.

Может существовать множество унификаторов для { }. Простейшим унификатором множества { } называют такой, что для любого существует дополнительная замена такая, что = o . Для последнего примера = { | , | , | , | , ()| }, = o{ | }.