Критические точки распределения F-Фишера-Снедекора
(k 1 - число степеней свобода большей дисперсии) (k 2 - число степеней свободы меньшей дисперсии)
Словарь экономико-математических терминов A Автокорреляция [autocorrelation, serial correlation] — корреляционная связь между значениями одного и того же случайного процесса X (t) в моменты времени t1 и t2. Функция, характеризующая эту связь, называется автокорреляционной функцией. При анализе временных рядов автокорреляционная функция характеризует внутреннюю зависимость между временным рядом и тем же рядом, но сдвинутым на некоторый промежуток (сдвиг) времени. Иначе говоря, это корреляция членов ряда и передвинутых на L единиц временичленов того ж ряда: x 1, x 2, x 3, … и x 1+ L, x 2+ L, x 3+ L. Запаздывание L называется лагом и является положительным целым числом. Поскольку большое распространение имеют модели с лагом, равным одному году, то в некоторых работах А. определяется как корреляционная зависимость между соседними значениями уровней временного ряда. А. затрудняет применение ряда классических методов анализа временных рядов. В моделях регрессии, описывающих зависимости между случайными значениями взаимосвязанных величин, она снижает эффективность применения метода наименьших квадратов. Поэтому выработаны и применяются специальные статистические приемы для ее выявления (напр. критерий Дарбина-Уотсона) и ее элиминирования (напр., преобразование временного ряда в ряд значений разностей между его соседними членами), а также для модификации самого метода наименьших квадратов.
Агрегирование [aggregation, aggregation problem] — объединение, укрупнение показателейпо какому-либо признаку. С математической точки зрения А. рассматривается как преобразование модели в модель с меньшим числом переменных и ограничений - агрегированную модель, дающую приближенное (по сравнению с исходным) описание изучаемого процесс а или объекта. Его сущность - в соединении однородных или принимаемых за однородные элементов в более крупные. Среди способов А.: сложение показателей, представление группы агрегируемых показателей через их среднюю, использование различных взвешивающих коэффициентов, баллов и т. д. Процесс, обратный к А., называется дезагрегирован и е м, реже - р а з а г регированием, разукрупнением. Некоторыми теоретиками термин «А.» понимается также как переход от микроэкономическогок макроэкономическому взгляду на изучаемые экономические явления. В экономико-математических моделях А. необходимо потому, что ни одна модель не в состоянии вместить всего многообразия реально существующих в экономике продуктов, ресурсов, связей. Даже крупноразмерные модели, насчитывающие десятки тысяч показателей, и то неизбежно являются продуктом А. В процессе управления при переходе от низшей ступени к высшей показатели агрегируются, а число их уменьшается. Но при этом часть информации«теряется» (при укрупнении заявок на материалы, например, уже неизвестно, каких именно марок и размеров они нужны каждому предприятию) и приходится вести расчеты приближенно, на основании статистических закономерностей. Поэтому всегда надо сопоставлять выгоду (сокращение расчетов) с ущербом, который наносится потерей части информации, Особенно затрудняется А. в динамических моделях, поскольку с течением времени меняется соотношение элементов, входящих в укрупненную группу (возникает «структурная неоднородность»). Расхождение между результатами исходной задачи и результатами агрегированной задачи называется ошибкой А. А. имеет большое значение в методе межотраслевого баланса {МОБ), где оно означает объединение различных производств в отрасли, продуктов - в обобщенные продукты и укрупнение таким путем показателей балансовых расчетов. Межотраслевой баланс обычно оперирует «ч и с т ы м и о т р а с л я м и», т. е. условными отраслями, каждая из которых производит и передает другим отраслям один агрегированный продукт. Количество их ограничивается вычислительными возможностями ЭВМ и некоторыми обстоятельствами математического характера, однако, в принципе, чем больше детализация межотраслевого баланса, тем лучше он отражает действительность, тем точнее расчеты по нему. А. в МОБ возможно двух типов - вертикальное и горизонтальное. Первое означает объединение продукции по технологической цепочке. Например, в соответствии с этим принципом в одну группу могут быть объединены железная руда, чугун, сталь, прокат (тогда отрасль дает другим один продукт-прокат), в другую - пряжа, суровая ткань, готовая ткань, в третью - целлюлоза, бумажное производство. При этом все показатели, прежде всего затраты, относятся на избранную единицу агрегированного продукта (в данных примерах - это тонна готового проката, 1 млн. м3 готовой ткани, тонна бумаги). Выбрать правильное объединение сложно, поскольку та же сталь может отпускаться потребителям (для литейных производств) не в виде проката, а в виде слитков, целлюлоза может поступать не только на бумажные комбинаты, но и на заводы искусственного волокна, где из нее делают вискозную пряжу, и т. д. Второй вид А. - горизонтальное. При этом в одну группу объединяются, например, продукты, сходные между собой либо по экономическому назначению (различные виды зерна, топлива), либо по техническим условиям производства. Это связано, однако, с дополнительными трудностями. Логично объединить в одну группу всю электроэнергию, но структура затрат на ее производство на тепловых и гидравлических станциях в корне различна. Любой сдвиг в соотношениях внутри такой объединенной отрасли резко скажется на ее показателях, необходимых для расчета. Наиболее рациональные способы А. отраслей и продуктов определяются путем экономико-математических расчетов. Основным инструментом А. являются цены. Адекватность модели [adequacy of a model] — соответствие модели моделируемому объектуили процессу. Адекватность в какой-то мере условное понятие, так как полного соответствия модели реальному объекту быть не может: иначе это была бы не модель, а сам объект. При моделировании имеется в виду адекватность не вообще, а по тем свойствам модели, которые для исследования считаются существенными. Трудность измерения экономических величиносложняет проблему адекватности экономических моделей. Активный (условный) статистический прогноз [conditional prediction] — прогноз, применяемый тогда, когда предусматривается, что правительство (общество) может принять различные меры, которые способны воздействовать на прогнозируемые показатели. Например, если наблюдается неблагоприятная тенденция к понижению фондоотдачи, то пассивный прогнозпредскажет дальнейшее снижение этого показателя. Активный же прогноз ответит на вопрос, что будет, если окажется принятой та или иная программа действий по повышению эффективности фондов. Аналитическая модель [аnаlytical model] — формула, представляющая математические зависимости в экономике и показывающая, что результаты (выходы) находятся в функциональной зависимости от затрат (входов). В самом общем виде ее мoжно записать так: U =f(x). Здесь х — совокупность ( вектор ) входов, U — совокупность (вектор) выходов, f — функция, которая в случае, если она известна, может быть раскрыта в явной форме. В моделях оптимизационных(а их большинство в экономико-математических исследования х, в исследовании операций и т. д.) отыскивается такой вектор переменных xi (i — «номер» из числа рассматриваемых векторов), при котором критерий, характеризующий качество функционирования системы — обычно это скаляр, а не вектор — получает наибольшее или наименьшее значение (либо вообще достигает какого-то желательного уровня). Это записывается, например, для первого случая (максимизации ) так: u = f (xi, yi) ® max., Здесь yi — переменные, не поддающиеся управлению, но влияющие на и; f — функция, задающая отношения между всеми указанными величинами. Если она известна, то может быть найдено аналитическое решение данного уравнения.
Аппроксимация [approximation] — «замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным»; в частности — приближенное выражение сложной функции с помощью более простых. Аргумент функции [function argument] то же, что независимая переменная — переменная, от значений которой зависят значения функции.
Б Библиотека стандартных программ [routine library] — набор готовых программ для решения повторяющихся типовых задач на ЭВМ. Это могут быть и простые задачи, например, перевод из десятичной системы счисления в двоичную, вычисление тригонометрических функций, и более сложные задачи, например, решение различных классов уравнений, вплоть до систем уравнений. Существуют стандартные программы решения задач линейного программирования, обращения матриц, различных методов статистической обработки результатов экспериментов и др. Стандартные программы — основа математического обеспечения автоматизированных систем обработки данных. В Вариантные прогнозы [variant predictions] — прогнозы, основанные на сопоставлении различных вариантов возможного развития экономических объектовпри разных предположениях относительно того, как будет развиваться техника, какие будут приниматься экономические меры и т. д. Анализ В. п. способен помочь в выборе наиболее важных направлений научно-технических работ (исследований, конструкторских разработок и т. д.) и, следовательно, в распределении капиталовложений, а также в принятии других решений экономического характера. В. п. исходят из вероятностного характера развития экономики, прежде всего научно-технического прогресса. Учитывая возможные управляющие воздействия, В. п. могут быть одновременно активными прогнозами. Если же они опираются только на возможное продолжение развития внутренних, собственных тенденций системы, то их можно назвать также пассивными прогнозами. На практике часто применяются В. п., рассматривающие три альтернативы — оптимистическую (высокий уровень), пессимистическую (низкий уровень) и среднюю.
Верификация модели [model verification] — проверка ее истинности, адекватности. В отношении к дескриптивным моделямона сводится к сопоставлению расчетных результатов по модели с соответствующими данными действительности — массовыми фактами и закономерностями экономического развития. В отношении же нормативных (в том числе оптимизационных) моделей положение сложнее: в условиях действующего экономического механизма моделируемый объект подвергается различным управляющим воздействиям, не предусмотренным моделью; надо ставить специальный экономический эксперимент с учетом требований чистоты, то есть устранения влияния этих воздействий, что представляет собой трудную, во многом еще не решенную задачу. Верификация имитационной модели есть проверка соответствия ее поведения предположениям экспериментатора. Когда модель организована в вычислительную программу для ЭВМ, то сначала, как обычно, исправляют ошибки в ее записи на алгоритмическом языке, а затем переходят к верификации. Это первый этап действительной подготовки к имитационному эксперименту. Подбираются некоторые исходные данные, для которых могут быть предсказаны результаты просчета. Если окажется, что ЭВМ выдает данные, противоречащие тем, которые ожидались при формировании модели, значит, модель неверна. В обратном случае переходят к следующему этану проверки работоспособности модели.
Вероятность [probability] — «математическая, числовая характеристика степени возможности появления какого-либо события и тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условий». Если исходить из этого классического определения, численное значение В. некоторого случайного события равно отношению числа равновероятных исходов, обеспечивающих совершение данного события, к числу всех равновероятных исходов. Заметим, что «исход» — не единственный термин для обозначения факта свершения случайного события. То же в разных дисциплинах, связанных с теорией В., означают: случай, выборочная точка, элементарное событие, состояние и др. В. обычно обозначается буквой Р. Например, выражение Р (А) = 0, 5 означает, что В. наступления события А равна 0, 5. В. удобно классифицировать по следующей шкале: 0.0 — полностью исключено 0.10 — в высшей степени неопределенно
0.30 0.40 — неправдоподобно 0, 60 — вероятно
0.80 0.90 — в высшей степени вероятно 1.00 — полностью достоверно Для анализа В. сложных событий следует различать прежде всего события совместимые и не с о в м е с т и м ы е, а также зависимые и н е з а в и с и м ы е. В первом случае речь идет о событиях, которые могут (или не могут) появиться совместно, во втором - о таких, что В. одного события в той или иной мере связана (или не связана) с тем, осуществилось ли другое. Для взаимно независимых событий А и В действуют следующие правила: В. осуществленияхотя бы одного из них равна сумме вероятностей этих событий: P (A Ú B) = P (A) + P (B), В. совместногоосуществления событий А и В равна произведению их В.: Р (А ∩ В) = Р (А) Р (В). Вместо Р (А ∩ В) обычно пишут: Р (АВ). Те же правила действуют, когда взаимно независимых событий не два, а любоечисло. Для двух зависимыхсобытий В. наступления по крайней мере одного из них равна сумме В. этих событий минус В. их совместного появления: P (A Ú B) = P (A) + P (B) - Р (А ∩ В) Или, что то же самое: P (A) + P (B) - Р (АВ). В. события А при условии, что произошло другое (взаимно зависимое) событие В, называется условной В. и обозначается: Р (А | B), или PB (A), или - P (A/В). Наконец, если одноиз несовместимых событий наступает, другое не может наступить. Следовательно, суммарная В. ихнаступленияравна единице. Если однособытиеобозначить А, то другое (егоназываютдополнительным к первому) будет «не А», или í А, или Ā. Очевидно, что Р (í А) = Р (Ā) = 1 - Р (А).
Внешний прогноз [extrinsic forecast] — в теории управления запасами, планировании производства — прогноз, основанный на внешних факторах; например, прогноз продажи холодильников базируется на обследовании наличия холодильников у населения. Внутренний прогноз [intrinsic forecast] — в теории управления запасами, планированиипроизводства — прогноз, основанный на внутренних факторах; например, прогноз продажи мороженого на июнь или январь на основе исчисления средних продажза аналогичные периоды прошлыхлет. Временной ряд (или ряд д и н а м и к и, или динамический ряд) [time-series]— ряд последовательных значений, характеризующих изменение показателя во времени. Изучение В. р. — важная область исследования экономической динамики. Они разделяются, во-первых, на моментные ряды (данные которых характеризуют величину явления по состоянию на определенные даты) и интервальные ряды (характеризующие определенные периоды), во-вторых, на э в о л ю т о р н ы е процессы, содержащие тренд, и стационарные процессы, не содержащие тренда. Основные понятия анализа В. (динамических) р.: тренд, или длительная, «вековая» тенденция; лаг, или запаздывание одного явления от другого, связанного с ним; периодические колебания (сезонные, циклические и др.). Для выявления тенденции, лагов, колебаний и на этой основе для анализа и прогнозирования экономических явлений применяется ряд методов математико-статистической обработки В. р. Среди них экстраполяция — продолжение ряда на будущее но выявленной закономерности его развития, выравнивание В. р. для устранения случайных отклонений, анализ автокорреляции, спектральный анализ.
Время в экономической системе [time in economic system] Фактор времени — один из важнейших компонентов любой динамической экономико-математической модели. В учете фактора времени особое значение имеет соизмерение затрат и результатов относящихся к разным периодам. Основная единица времени в экономических расчетах — год. Это относится главным образом к моделям, которые предназначены для решения практических задач, их называют моделями с «д и с к р е т н ы м (п р е р ы в н ы м) временем». В теоретических же исследованиях часто используются модели с «непрерывным временем» (их переменные изменяются непрерывно, без «скачков» от года к году или деления на другие периоды). Впрочем, нередко и практические задачи решаются «в непрерывном времени». При этом недостающие значения, соответствующие моментам времени между известными моментами (например, началом и концом года), находят с помощью и н т е р п о л и р о в а н и я. Математический аппарат для решения задач с дискретным инепрерывным временем различен. Для описания процессов развития в первом случае применяются разностные уравнения, во втором случае — дифференциальные уравнения. Обозначения. В дискретном анализе последовательные интервалы времени принято обозначать буквами t, τ или θ, например, t=i, 2,..., п. Соответствующие значения переменных модели — подстрочными (или надстрочными) индексаминапример, капиталовложенияв году t обозначим Кt, в предшествующем году — Кt-1 следующем Кt+1, и т. д. Функцией времени называется функция, которая отображает изменение экономического показателя в зависимости от времени — как аргумента. Следовательно, (в случае непрерывного анализа) скорость изменения показателя равна производной по времени: dc V(с) = ----, d (t) где V (с)—скорость изменения себестоимости продукции с; t — время
Входы и выходы системы (элемента системы, блока, модели ) [inputs and outputs of a system] — совокупность воздействий внешней среды на систему и воздействий системы на среду. Выход одной системы неминуемо будет входом какой-то другой системы — в этом выражается всеобщая взаимосвязь явлений в мире. Следовательно, входы, могут быть двух основных видов: результат предшествующего процесса, последовательно связанного с данным, и результат предшествующего процесса, случайным образом связанного с данным. Кроме того, вход может оказаться результатом той же системы, который вновь вводится в нее ( обратная связь).У любого процесса есть вход и выход, поэтому сам процесс функционирования системыиногда называют «преобразованием входа в выход», а правило такого преобразования -— оператором. Математически входы и выходы рассматривают как наборы (векторы и кортежи ) переменных величин. Если обозначить оператор через Т, то воздействие на систему (вход) х, имеющее результатом (выходом) у, можно выразить формулой: у=Тх. Среди входных величин в управляемых системах (их называют также сигналами ) можно выделить две группы, различные по характеру влияния на выходы: управляющие возде йствии и возмущения (возмущающие воздействия). К первым относятся такие величины ( управляющие переменные, инструментальные переменные), значения которых можно менять для получения желательного (обычно оптимального) выхода, ко вторым — воздействия на систему, нарушающие ее нормальное функционирование и развитие в желательном направлении.
Выборка [sample] — часть генеральной совокупности элементов, которая охватывается наблюдением (часто ее называют выборочной совокупностью, а выборкой — сам метод выборочного наблюдения). В математической статистике принят принцип случайного отбора; это означает, что каждый элемент имеет равный шанс попасть в В. Различают В. в о з в р а т н у ю и невозвратную. В первом случае каждый отобранный элемент возвращается в исследуемую совокупность до того, как произойдет отбор следующего элемента. Во втором — отобранный элемент «изымается» из дальнейшего рассмотрения. Причем невозвратная (или безвозвратная) В. может рассмотриваться как возвратная, если она составляет малую часть совокупности. На практике используются виды В.: 1. Собственно случайная В, — когда объекты для изучения отбираются по жребию, на основе таблицы случайных чисел, и т. п.; 2. Систематическая (или механическая) В., когда отбор производится через определенный интервал (шаг отбора) из списка единиц совокупности, расположенных в нем в определенном порядке; 3. Типическая В. — когда генеральная совокупность разбивается на типические группы или слои (с т р а т ы) и внутри каждой группы производится (случайный или механический) отбор. 4. В. серийная (иногда кластерная, от английского cluster sampling), смысл которой удобно пояснить на примере: чтобы определить для какого-то антропометрического обследования средний рост школьников-первоклассников, можно случайным или механическим способом выбрать город, в этом городе — район, в районе — школу, в школе — класс, а затем провести сплошное измерение роста всех учеников этого класса.
Выборочная информация [sample information] — информация, полученная на основе выборочного наблюдения, выборки из имеющихся данных, в отличие от информации, полученной путем сплошного наблюдения. Выборочные методы [sampling] — методы математической статистики, при которых статистические свойства совокупности каких-либо объектов (генеральной совокупности) изучаются на основе исследования свойств лишь части этой совокупности — объектов, отобранных беспристрастно случайным образом или по правилам, в конечном счете, также сводящимся к случайному отбору. Необходимость прибегать к таким методам объясняется либо невозможностью, либо экономической невыгодностью исследования всей генеральной совокупности, (Невозможно, например, определить среднюю долговечность электрических лампочек сплошным обследованием — для этого пришлось бы пережечь все лампы.) Способ отбора объектов, решающее условие качества выводов из любого выборочного исследования, во многом определяется особенностями предмета исследования. Среди изучаемых характеристик чаще всего фигурируют доля объектов с тем или иным признакомв совокупности или средняя величина признака (а также некоторые другие характеристики). При первом подходе задача состоит в выяснении, обладает ли отобранный объект тем или иным свойством или характеристикой (например, при выборочной отбраковке важно установить, является ли данное изделие годным или браком); при втором — речь идет о количественном определении переменной, т. е. измерении некоторой характеристики отобранных объектов (например, об измерении среднего веса отливок определенного типа). Главной проблемой в любом В. м. является то, насколько уверенно можно по свойствам отобранных объектов судить о действительных свойствах генеральной совокупности. Поэтому всякое такое суждение неизбежно имеет вероятностный характер, и задача сводится к тому, чтобы степень вероятности правильного суждения (точности статистических оценок) была возможно большей. Разумеется, увеличение размера выборки при прочих равных условиях дает большую уверенность, но поскольку нужна возможно меньшая выборка, в математической статистике вырабатываются способы, которые либо обеспечивают повышение точности оценок при фиксированном размере выборки, либо позволяют уменьшить размер выборки, требуемой для получения заданной точности. В экономике В. м. используются как в наблюдении экономических явлений, так и в экономическом эксперименте, как в научных исследованиях, так и непосредственно в производстве (характерным примером здесь является выборочный контроль качества изделий). Особенно широко их применение в демографических, социологических исследованиях.
Выравнивание временных рядов [time-series smoothing] — выявление основной тенденция развития (временного тренда)путем «очистки» временного ряда от искажающих эту тенденцию случайных отклонений. Предполагается, что каждый член ряда состоит из двух компонент: уровня ū t и случайного отклонения от него ε t ut = ū t + ε t Слагаемое ū t отражает существенные и типичные черты развития системы, отражаемые анализируемым временным рядом, т. е. последовательными значениями соответствующего экономического показателя. Случайные же отклонения мешают выявить основную тенденцию развития. Наглядным и простым способом выравнивания ряда является фиксация точек на графике и проведение на глаз плавной кривой между ними (и возле них), выражающей исконную тенденцию (см. рис. ниже). Такой способ дает приблизительные результаты, иногда все же достаточные для анализа. Однако в сложных случаях применяются математико-статистические методы выравнивания, расчеты при этом ведутся на ЭВМ. В частности, с помощью метода наименьших квадратов, методов скользящей средней, экспоненциального сглаживания, аналитического выравнивания и т.д.
     
Рис. Выравнивание временного ряда
Г Гипотеза [hypothesis] — предположение, требующее научного доказательства; точнее, не всякое предположение, а предварительное объяснение проблем, основанное на имеющихся знаниях и опыте. Поскольку эти знания и опыт ограничены, Г. носит вероятностный характер. Проверка и подтверждение Г. означают переход от предположения к новому знанию об изучаемом объекте или процессе. Экономико-математические модели строятся на основании тех или иных Г. о структуре и взаимоотношении экономических показателей, о причинах тех или иных процессов. Проверка таких Г. осуществляется тремя путями. Первый путь — статистическое наблюдение и изучение действительных процессов, происходящих в экономике. Например, выдвинута Г. введение премий за качество продукции снижает брак, повышает прибыль предприятий. Можно изучить применение действующих поощрительных систем (т. е. провести наблюдение) и проверить эту Г. Другой способ проверки Г. — с помощью специально поставленного экономического эксперимента. В этом случае разрабатываются и вводятся в действие новые стимулирующие факторы (премии) и ведется наблюдение за тем, как они действуют, к каким приводят результатам. Экспериментальным является и третий способ— машинная имитация («проигрывание» модели на ЭВМ). Глобальное моделирование [global modelling]или м о д е л и р о в а- н и е глобального развития — новая область исследований, посвященная разработке моделей наиболее масштабных социальных, экономических и экологических процессов, охватывающих земной шар. Например, под руководством американского экономиста В. Леонтьева, по поручению одного из исследовательских центров ООН, была разработана экономико-математическая моделъ мировой экономики. Она делит мир на 15 регионов, взаимосвязанных экспортом-импортом по 43 секторам экономической деятельности. С ее помощью анализировались возможные варианты перспектив развития мира в целом до 2000 года. Известен ряд моделей, разработанных по заказу так называемого Римского клуба. Несмотря на ряд достоинств (например, они обратили внимание мировой общественности на остроту экологических проблем), модели Римского клуба страдают общим недостатком: они исходят в прогнозах из экстраполяции на будущее современных тенденций развития капиталистических стран и игнорируют многие конкретные социально-экономические, политические и идеологические факторы. Г. м. успешно развивается и в России. Российские экономисты, в частности, сотрудничают в этой области с Международным институтом прикладного системного анализа (ИСА) в Вене. Глобальная система «Гея», разработанная под руководством акад. Н.Н.Моисеева, позволила впервые проанализировать возможные последствия ядерного конфликта, предупредить человечество о действительных размерах грозящей ему опасности.
Горизонт прогнозирования [forecasting fime—frame] — крайний срок, для которого прогноз действителен с заданной точностью. В некоторых работах этот термин трактуется иначе: как промежуток времени, на который рассчитывается прогноз. Для последней трактовки лучше применять термин «глубина прогнозирования». Д Данные [data] — сведения о состоянии любого объектаэкономического или не экономического, большой системыили ее элементарной части (элемента) о человеке и машине и т. д., представленные в формализованном виде и предназначенные для обработки (или уже обработанные). Д. не обязательно должны быть числовыми: например, статистические показ
|
k 2
k 1
0.20 весьма неправдоподобно
0.70 весьма вероятно
