Обратная матрица

Понятие обратной матрицы определено только для квадратных матриц, определитель которых не равен нулю. Если D=0, то заданная матрица обратной не имеет и называется особенной (или вырожденной).

Матрица А называется обратной по отношению к матрице А, если выполняется равенство: А А=АА =Е.

Алгоритм вычисления А покажем на примере А = по шагам:

1. Вычисляем определитель D= . Если D=0, то работа прекращается с заключением: А - вырожденная матрица.

2. Вычисляем все адъюнкты матрицы А: А =Ad , A =Ad ,... A =Ad .

3. Из вычисленных адъюнктов составляем союзную (или присоединенную) матрицу А^с = . Обратим внимание, что индексы этой матрицы транспонированы по отношению к исходной матрице А.

4. Вычисляем обратную матрицу А = А^с

5. Если расчет проводится вручную, то выполняется проверка: А А= Е или AA =Е.

Перечислим основные свойства обратной матрицы:

1. D(A )= .

2. (АВ) = В А , т.е. при раскрытии скобок порядок сомножителей меняется на обратный.

3. (А ) =(А ) , т.е. операции обращения и транспонирования можно менять местами.

В заключение отметим, что из-за арифметического объема работы с определителями, использование описанной процедуры ограничивается матрицами второго и третьего порядков.