Норма матрицы

Проблема собственных значений определена только для квадратных матриц. В экономической практике часто необходимо оценивать не только квадратные матрицы. Для такой оценки можно использовать универсальное понятие нормы, справедливое для матриц любой размерности.

Нормой произвольной матрицы А называется действительное число , удовлетворяющее целому ряду условий, наиболее важными из которых являются:

1. , причем только в случае полностью нулевой матрицы А.

2. , где .

В какой–то степени норму можно образно представлять как показатель “толщины” или “мощности” матрицы А.

Норма называется канонической, если , т.е. она не меньше, по модулю, любого элемента матрицы А. При выборе нормы возможно использовать самые разнообразные соображения, не противоречащие определению. Однако на практике обычно достаточно следующих канонических норм:

1. m–норма – суммируются, по модулю, все строки матрицы А и максимальная из полученных сумм объявляется нормой.

2. l–норма – суммируются, по модулю, все столбцы матрицы А и максимальная из полученных сумм объявляется нормой.

3. k–норма = – суммируются квадраты всех элементов матрицы А и корень из этой суммы объявляется нормой.