Понятие о проблеме собственных значений матрицы

В большом ряде моделей процессов и в задачах анализа требуются как оценка имеющегося объекта, так и сравнение между собой различных моделей. Так как матрицы - один из наиболее распространенных способов описания экономических процессов и объектов, то использование их универсальных характеристик удобно для задач эталонного сравнения. Собственные значения и векторы и представляют собой такие характеристики.

Собственным векторомквадратной матрицы А называется вектор 0, удовлетворяющий матричному уравнению А = , где - собственное значение матрицы, соответствующее вектору .

Представим это равенство в виде

(А- Е) =0.

Чтобы это однородное матричное уравнение имело ненулевые решения , необходимо и достаточно равенство нулю определителя

D(А- Е)=0.

Это - характеристическое уравнение (степени n)для матрицы А.

Отсюда получаем сначала собственные значения , а затем собственные векторы . Общее число этих характеристик равно порядку n матрицы А.

Рассмотрим пример: определить собственные значения матрицы А = .

Составим: А- Е= - = ; D(А- Е) = = 0 или

(2- )(3- )-2=0, откуда получим два собственных значения: =1; =4.

Определим собственные векторы для каждого :

1. =1 =0, т.е. =0 или х +2 х = 0.

Собственный вектор определится с точностью до постоянного множителя с. Положим х =1, тогда х = -2 и = с .

2. =4 =0 и х +2 х = 0. Полагая х = 1, получим х = 1 и вектор = с .

Вычисленные собственные значения обычно проверяются по их свойствам:

1. Сумма собственных значений равна сумме диагональных элементов матрицы А (следу матрицы А): + +... = а +а +...+а .

2. Произведение собственных значений связано с определителем D(A) матрицы А формулой: ... =(-1) D(A).

3. Если матрица А симметрична, то ее собственные значения всегда действительны, т.е. R.

Описанное выше, в целом, представляет собой полную проблему собственных значений - определяются все и для матрицы А. В большинстве же практических задач это не нужно - итоговое заключение делается по минимальному (или максимальному) собственному значению и соответствующему ему вектору. При этом нет необходимости решать сложное характеристическое уравнение полностью - надо найти только один нужный корень. Такая задача называется частичной проблемой собственных значений. Для ее решения имеются достаточно простые и быстрые методы.