Дифференциал функции
Вернемся к определению производной:
Эквивалентность записи
Отсюда и следует Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной: 1. dC = 0, C - постоянная (число). 2. d(Cy)= Cdy. 3. d(u 4. d(uv)= v du+u dv. 5. Приведем обозначения для дифференциалов высших порядков: Формула для дифференциала используется в приближенных вычислениях. Действительно, из
|
С помощью свойства связи предела и бесконечно малой величины 
(см. главу Пределы), запишем: 
или 
. Так как 
стремится к нулю, то вторым слагаемым можно пренебречь. Тогда первое слагаемое 
и называется дифференциалом функции у=f(х). Для того, чтобы подчеркнуть это определение, принято записывать 
Рассмотрим геометрический смысл дифференциала:
, равная произведению производной этой функции на приращение аргумента 
= tg a dx
докажем и по-другому: пусть у=х, тогда
.
Кроме того, определение дифференциала обосновывает представление производной, как отношения: из dy = 
v)= du 
.
и т.д.
следует: 
, откуда 
. Чем меньше значение 
. Здесь 
и 
Тогда
или 
- практически точно.
