Приращением функции у=f(x) в интервале Dх называется разность D у=f(х+Dх)-f(x). Если D у > 0, то функция на интервале возрастает; при D у < 0 - убывает; при D у =0 – не изменяется.
Предел отношения приращения функции D у к приращению аргумента D х при стремлении D х к нулю называется производной функции:
| |
Другие, эквивалентные, обозначения:
.
Геометрический смысл производной тесно связан с понятием касательной.
Проведем через точку М секущую ММ1. Если точку М1 устремить к М, т.е. уменьшать  х до нуля, то в момент слияния точек М и М1 угол   перейдет в угол  : tg =  ;
| |
Следовательно, производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.
С физической точки зрения производная - скорость изменения функции в данной точке.
Если функция имеет единственную производную в точке, она называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках интервала a 
, называется дифференцируемой в данном интервале.
