Экстремумы функции.
Среди стационарных точек выделим экстремальные: функция
Таким образом, чтобы установить наличие экстремума и определить его тип, следует сформулировать достаточные условия. На практике используют два основных условия: Первое достаточное условие экстремума: если в стационарной точке х=а производная Первое достаточное условие обычно используют в случаях, когда производная Второе достаточное условие: если в стационарной точке х=а вторая производная Таким образом, приведем схему определения экстремумов функции 1. Определяем производную 2. Находим стационарные точки функции из анализа области определения производной и уравнения 3. Выбираем первое или второе достаточное условие. В последнем случае находим 4. Исследуем стационарные точки по достаточному условию, определяем наличие и вид экстремума. 5. Вычисляем экстремальные значения функции уэкстр.=f(хстац.).
|
имеет максимум (минимум) в точке х=а, если вблизи этой точки всем значениям х соответствуют 
. По нашему чертежу точка 2 является точкой экстремума, в данном случае - максимума.
либо равна 0, либо бесконечна, либо не существует.
меняет свой знак с плюса на минус (с возрастания на убывание), то функция у= 
имеет громоздкий вид. Если же вторая производная вычисляется достаточно просто, то удобно использовать следующее условие.
положительна, то функция 
в этой точке имеет минимум, если же 
отрицательна, то функция имеет максимум.
.
.
, то часто возникает задача отыскания наибольшего и наименьшего значений (глобальных экстремумов) функции на этом интервале, причем они могут далеко не всегда совпадать с локальными. Для решения проблемы сравниваются не только внутренние экстремумы, но и проверяются значения функции 
и 
на концах интервала. На чертеже показано, что глобальный и локальный минимумы совпадают и равны 
, но глобальный максимум 
