Непрерывность и разрывы функции

Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀ если она:

1. Определена в этой точке, т.е. существует f(x₀).

2. Имеет предел в этой точке А = .

3. Пределсовпадает со значением функции А = f (x₀).

Если хотя бы одно из этих условий нарушено, то функция разрывная в точке x₀. Этот разрыв может быть конечен - скачок (разрыв первого рода), или бесконечен (второго рода).

Для функций, непрерывных в точке x₀ сумма f₁+f₂, произведение f₁ f₂ и частное (при f₂ ¹ 0) также непрерывны в этой точке.

Если функция y= f₁(u) непрерывна в точке u₀, а функция u= f₂(x) непрерывна в точке f₂(x₀), то, при u₀= f₂(x₀), сложная функция f₁(f₂(x)) тоже непрерывна в этой точке, т.е. можно записать: .

Функция y= f(x) называется непрерывной на интервале a x b, если она непрерывна в каждой точке этого интервала. При этом:

1. Она ограничена на этом интервале сверху и снизу (не может быть бесконечного значения).

2. Обязательно имеет минимальное и максимальное значения.

3. Если по концам интервала функция имеет разные знаки, то внутри интервала имеется хотя бы одна точка х=с, в которой f(с)=0 (корень функции).