Первообразная функция и неопределенный интеграл

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала данной функции. Интегральное исчисление решает обратную задачу - нахождение самой функции по ее производной или дифференциалу.

Определение. Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x), если F'(x)=f(x). Например, F(x)=x² является первообразной для функции f(x)=2x, так как F'(x)=(x²)'=2x.

Следует отметить, что для заданной функции f(x) ее первообразная определена неоднозначно. Дифференцируя, можно убедиться, что функции x²+1, x²-5 и вообще x²+С, где С - произвольное число, являются первообразными для функции f(x)=2x.

Определение. Совокупность всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается , где - знак интеграла, f(x) - подынтегральная функция, f(x)dx — подынтегральное выражение. Таким образом,

,

где F(x) - некоторая первообразная для f(x), С - произвольная постоянная.

Операция нахождения неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции.

Отметим, что в практических задачах встречаются случаи, когда значение произвольной постоянной можно определить точно. Например, найдем , если заранее известно, что F(2)=0. Здесь имеем: . Тогда и . Таким образом, частное выражение для первообразной запишется в виде .