Интегрирование некоторых классов функций

3.1.Интегрирование рациональных функций

Рациональной функцией будем называть дробь вида , где P(x) и Q(x) – многочлены. Если степень числителя меньше степени знаменателя, то дробь называется правильной; в противном случае – неправильной. Всякая правильная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей; так называют дроби четырех типов: ;

, где n – натуральное число, не равное единице; ; , где n – натуральное число, не равное единице. Здесь А, В, а, p, q – числа; квадратные трехчлены x ²+ px + q не имеют действительных корней. Для того, чтобы представить правильную дробь в виде суммы простейших дробей, надо, прежде всего, разложить знаменатель на линейные и квадратичные множители. Каждому простому линейному множителю соответствует в сумме простейших дробей дробь первого типа. Каждому линейному множителю кратности k соответствует дробь первого типа и (k –1) дробь второго типа: с показателями от 2 до k. Аналогично обстоит дело и с квадратичными множителями. Коэффициенты простейших дробей находятся методом неопределенных коэффициентов.

Разложение рациональной дроби в сумму простейших дробей используется для интегрирования. А именно, если дробь неправильная, то сначала ее представляют в виде суммы многочлена и правильной дроби, а затем правильную дробь представляют в виде суммы простейших дробей. Тогда для интегрирования рациональной дроби достаточно уметь интегрировать простейшие дроби. Дроби первого и второго типов интегрируются в общем виде:

ò dx = А lnï x – а ï +С; ò dx = +С. Способы интегрирования дробей третьего и четвертого типа будут показаны на примерах.

Примеры. 1) Проинтегрируем правильную дробь . Разложим знаменатель на множители: х ⁴–4 х ³+4 х ²= х ²(х ²–4 х +4)= х ²(х –2)². Значит, разложение дроби в сумму простейших содержит две дроби первого и две дроби второго типа: = + + + . Приведем дроби в правой части к общему знаменателю и приравняем числители правой и левой части: х ³–2 х ²–3 х +4=А х (х –2)²+В(х –2)²+С х ²(х –2)+D х ². Это равенство должно выполняться при всех значениях х. Подставив четыре различных значения х, получим уравнения, связывающие коэффициенты. При х =0: 4=4В; при х =2: –2=4D; при х =1: 0=А+В–С+D; при х = –1: 4= –9А+9В–3С+D. Отсюда В=1, D= –0, 5, А=0, 25, С=0, 75. Значит, =

+ + – . А тогда ò =0, 25lnï x ï – +0, 75lnï x –2ï + +C.

2) Проинтегрируем неправильную дробь . Представим ее в виде (2 х –1)+ . Полученная правильная дробь – простейшая дробь третьего типа. Найдем производную ее знаменателя: (х ²–6 х +11)¢ =2 х –6. Теперь запишем числитель дроби в виде А(2 х –6)+В, получим: х –9=0, 5(2 х –6)–6, т.е. ò dx =

ò dx =0, 5ò –6ò

=0, 5ò –6ò =

0, 5ln(x ²–6 x +11)–3 arctg +C.

Окончательно ò dx = ò (2 х –1) dx +

ò dx = x ²– x +0, 5ln(x ²–6 x +11)–3 arctg +C.·

3.2.Интегрирование тригонометрических функций

Покажем на примерах некоторые способы интегрирования тригонометрических функций.

1. Замена t =sin x (t =cos x). Эта замена используется в случае, когда подынтегральная функция – произведение нечетной степени косинуса (синуса) и функции, зависящей только от синуса (косинуса).

= = = = – = – +2 = – t +2arctg t +C = –sin x +2arctg(sin x)+C.

= = = –

= – + = + +С= + +C.

2. Использование формул понижения степени: 2сos² x =1+cos2 x, 2sin² x =1–cos2 x. Эти формулы полезны, например, в тех случаях, когда подынтегральная функция – произведение четных степеней синуса и косинуса.

= =

= = =

= =

= =

= =

= .

3. Замена t =tg x ( t =ctg t). Эта замена также может использоваться в тех случаях, когда подынтегральная функция – произведение (или частное) четных степеней синуса и косинуса.

= = = – = – + С = – +С.

Эта же замена удобна для интегрирования степеней тангенса или котангенса.

= = = = –

– = – = – =

= – + = – + = –

– + = – + – =

= – + + = – + +lnï cos x ï +C.

= = = =

= – – = – – = – –

– =– + + = – +

+ + = – + –ctg x – x +C= – +

+ –ctg x – x +C.

4. Универсальная тригонометрическая замена. Так называют подстановку t =tg . При этом sin x = , cos x = , dx = .

= =

= = = =

= +C= +C.

3.3. Интегрирование иррациональных функций

Покажем на примерах некоторые способы интегрирования иррациональных функций.

1. Чтобы проинтегрировать рациональную функцию, зависящую от х и от нескольких дробных степеней двучлена: ,..., , – используют замену t = (n – наименьшее общее кратное чисел n₁, …, n_k).

= = = = =3 +3 = +3 t +3lnï t –1ï +C= +3 +3lnï –1ï +C.

2. Интеграл вида сводится к одному из табличных интегралов: или .

= = +С.

= =

= = = arcsin +C=

= arcsin +C.

3. Интеграл вида сводится к интегралу из предыдущего пункта следующим образом. Сначала числитель дроби записывается в виде a(d (ax ²+ bx + c))+b dx; тогда =a +b =

=2a +b .

= –13 =

= –13 = – – +С.

= – +13 =

= –3 +13 = –3 +

+13arcsin(x –3)+C.

4. Интеграл вида берется с помощью замены t = .

= = =

= – +С=.– +C.

= = =

= = = =

= –0, 5 +С=.–0, 5 +C.