Предел и непрерывность

 

Раздел V. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Основные понятия

Пусть DÍ R ⁿ. Отображение f: D® R будемназывать функцией n переменных. Если (х ₁, х ₂,..., х _n) – элемент множества D, то его образ f (х ₁, х ₂,..., х _n) – действительное число. Множество D – область определения функции f. Переменные х ₁, х ₂,..., х _n называют аргументами этой функции.

Примеры. 1) Формула равномерного движения S=vt задает пройденный путь как функцию двух переменных – скорости и времени: S= f (v, t).

2) Закон Ома V=IR задает напряжение как функцию двух переменных – силы тока и сопротивления: V= f (I, R). 3) Формула объема прямоугольного параллелепипеда V= abc задает объем как функцию трех переменных – длины, ширины и высоты: V= f (a, b, c). ·

Если f (x, y) – функция двух переменных, то область определения D(f) – часть плоскости.

Примеры. 1) Пусть f (x, y)= . Тогда D(f) состоит из всех точек (x, y), для которых 4– х ²– у ²³ 0. Эти точки составляют круг с центром в начале координат и радиусом 2. Таким образом, D(f) – круг.

2) Пусть f (x, y)= . Тогда D(f) состоит из всех точек (x, y), для которых х – у ¹ 0. Эти точки составляют всю плоскость, кроме прямой х = у. Таким образом, D(f) – вся плоскость без этой прямой.

3) Пусть f (x, y)=ln(x ²+ y ²–1). Тогда D(f) состоит из всех точек (x, y), для которых х ²+ у ²–1> 0. Эти точки составляют всю плоскость, кроме круга с центром в начале координат и радиусом 1. Таким образом, D(f) – вся плоскость без этого круга. ·

Если f (x, y) – функция двух переменных, то поверхность z = f (x, y) называют графиком этой функции, а линии на плоскости, заданные уравнениями вида f (x, y)=С, называют линиями уровня.

Примеры. 1) Пусть f (x, y)= . Область определения этой функции, как показано выше, – круг с центром в начале координат и радиусом 2. График функции – поверхность z = , то есть полусфера: х ²+ у ²+ z ²=4, z ³ 0. Линии уровня = С, если 0£ C< 2, – это окружности с центром в начале координат и радиусом . Если С=2, то линия уровня состоит из одной точки – начала координат. При С< 0 или С> 2 линии уровня не существуют.

2) Пусть f (x, y)= х ²+ у ²–1. Область определения этой функции – вся плоскость. График функции – поверхность z = х ²+ у ²–1, то есть параболоид вращения с вершиной в точке (0; 0; –1) и осью вращения O z. Линии уровня х ²+ у ²–1=С, если C> –1, – это окружности с центром в начале координат и радиусом . Если С=–1, то линия уровня состоит из одной точки – начала координат. При С< –1линии уровня не существуют.·

 

Предел и непрерывность

Пусть Î R ⁿ: =(a ₁, a ₂,..., a _n). Пусть e> 0. Множество всех таких точек Î R ⁿ, для которых ç – ú < e, будем называть e- окрестностью точки ; e-окрестность точки без самой этой точки будем называть проколотой e- окрестностью точки . Например, если n=2, то e-окрестность точки – это открытый круг с центром и радиусом e, а проколотая e-окрестность точки – этот же круг без центра. Теперь понятия предела и непрерывности функции нескольких переменных можно определить так же, как для функции одной переменной.

Определение 1. Функция f нескольких переменных, определенная в некоторой проколотой окрестности точки , называется бесконечно малой при , стремящемся к (пишут: ® ), если для любого положительного числа e существует такая проколотая окрестность точки , что при всех , принадлежащих этой окрестности, ï f ()ï < e.

Свойства бесконечно малых функций нескольких переменных аналогичны свойствам бесконечно малых функций одной переменной. Попробуйте сформулировать их самостоятельно.

Определение 2. Число b называется пределом функции f () при ® , если функция f ()– b является бесконечно малой при ® . Обозначение: b = .

В частности, если функция f () – бесконечно малая при ® , то =0.

Примеры. 1) Пусть f ()=С – постоянная функция. Тогда для любой точки функция f ()–С является бесконечно малой при ® . Значит, =С.

2) Пусть f ()= х ₁ – первая координата точки . Тогда для любой точки =(a ₁, a ₂,..., a _n) функция f ()– а ₁ является бесконечно малой при ® .Значит, = a ₁. ·

Свойства предела функции нескольких переменных аналогичны свойствам предела функции одной переменной. Сформулируем их в виде теорем, которые примем без доказательства.

Теорема 1 (о единственности предела). Если

= b и = c, то c = b.

Теорема 2 (об ограниченности функции, имеющей предел). Если функция имеет предел при ® , то она ограничена в некоторой проколотой окрестности точки .

Теорема 3 (о переходе к пределу в неравенстве). Если = b и = с, причем f ()£ g () в некоторой проколотой окрестности точки , то b £ с.

Следствие. Если = b, причем f ()£ 0 в некоторой проколотой окрестности точки , то b £ 0. Если = b, причем f ()³ 0 в некоторой проколотой окрестности точки , то b ³ 0.

Теорема 4 (о промежуточной функции). Если = b и = b, причем f ()£ h ()£ g () в некоторой проколотой окрестности точки , то = b.

Теорема 5 (об арифметических операциях).

1) Если = b и = с, то = b + c.

2) Если = b и = с, то = bc.

Следствие. Если = b, то = Cb.

3) Если = b, причем b ¹ 0, то = .

Следствие. Если = b и = с, причем c ¹ 0, то = .

Примеры. Обозначим через .

1) = = 5.

2) = = . Мы воспользовались здесь эквивалентностями: ln(1+a)~a и sina~a при a®0.

3) Покажем, что не существует. Предположим сначала, что точка (x, y) приближается к точке (0; 0) по прямой y = x. Тогда = = . Если же прямую y = x заменить прямой y = – x, то получим = = – . Поскольку не может иметь двух различных значений, то он не существует.

4) Для вычисления воспользуемся полярными координатами: пусть х =rcosj, y =rsinj. Тогда = = r²cos²jsin²j; 0£ r²cos²jsin²j£ r² при любом j; r²=0; значит, = 0.·

Определение 3. Функция f (), определенная в некоторой окрестности точки , называется непрерывной в точке , если = f ().

Перечислим свойства непрерывных функций нескольких переменных.

Теорема 6 (о локальной ограниченности). Если функция непрерывна в точке, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.

Теорема 7 (о сохранении знака). Если функция f () непрерывна в точке и f ()> 0 (или f ()< 0), то f ()> 0 (соответственно f ()< 0) в некоторой окрестности точки .

Теорема 8 (об арифметических операциях). Если функции f () и g () непрерывны в точке , то функции f ()+ g () и f () g () непрерывны в точке . Если, кроме того, g ()¹ 0, то и функция непрерывна в точке .

Теорема 9 (о непрерывности сложной функции двух переменных). Пусть функции u (x, y) и v (x, y) непрерывны в точке (х _о, у _о), а функция f (u, v) непрерывна в точке (u _o, v _o), где u _o= u (x _о, y _о), v _o= v (x _о, y _о). Тогда функция f (u (x, y), v (x, y)) непрерывна в точке (х _о, у _о).

Замечание 1. Рассмотрим функцию двух переменных f (x, y). Рассмотрим точки (x ₀, y ₀) и (x ₀+D x, y ₀+D y). Разность f (x ₀+D x, y ₀+D y)– f (x ₀, y ₀) обозначим D f и будем называть приращением функции в точке (x ₀, y ₀). При фиксированной точке (x ₀, y ₀) приращение будет функцией от D x и D y (то есть от приращений аргументов). Из определения непрерывности следует, что функция f (x, y) непрерывна в точке (x ₀, y ₀) тогда и только тогда, когда в этой точке =0 (то есть приращение функции в этой точке является бесконечно малой при D x ®0 и D y ®0).

Пример. Пусть f (x, y)= . Тогда приращение функции в точке (0; 0) имеет вид: D f = . Как показано в примере выше, при D x ®0 и D y ®0 эта функция не имеет предела. Значит, функция f (x, y) не является непрерывной в точке (0; 0).·

Замечание 2. Кроме приращения D f, для функции двух переменных рассматривают так называемые частные приращения по х и по у: D _хf = f (x ₀+D x, y ₀)– f (x ₀, y ₀) и D _уf = f (x ₀, y ₀+D y)– f (x ₀, y ₀). Первое из них является функцией только от D x, а второе – только от D y. Аналогично можно определить частные приращения и для функции любого числа переменных.