Определенный интеграл

4.1.Площадь криволинейной трапеции.

Масса неоднородного стержня

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную линиями: x = a, x = b, y = f (x), y =0, где a < b, f (x)³ 0. Чтобы найти площадь криволинейной трапеции, разделим отрезок [ a; b ] на n равных частей, в каждом маленьком отрезке выберем точку и построим на нем прямоугольник, высота которого равна значению f (x) в выбранной точке. Если площадь полученной ступенчатой фигуры при увеличении числа n стремится к некоторому числу S, то S естественно считать площадью криволинейной трапеции.

Пример. Пусть криволинейная трапеция ограничена линиями: x =0, x =1, y = x ². Разделим отрезок [0; 1] на n равных частей. На каждом отрезке [ ; ], где 1£ k £ n, построим прямоугольник, высота которого равна (значению функции в правом конце отрезка). Тогда площадь полученной ступенчатой фигуры равна , или . Используя формулу суммы квадратов первых n натуральных чисел, получим выражение = . При n®¥ предел этого выражения равен . Это число считают площадью криволинейной данной трапеции.·

Аналогично можно определить массу тонкого стержня переменной линейной плотности: стержень делится на отрезки, в каждом из которых выбирается некоторая точка. Тогда масса стержня приближенно равна сумме произведений вида r(x_k)D x_k, где r(x_k) – значение плотности в выбранной точке, а D x_k – длина соответствующего отрезка. Если при неограниченном увеличении числа отрезков эта сумма стремится к некоторому числу М, то М считают массой стержня.

4.2.Определение определенного интеграла

Пусть функция f (x) ограничена на отрезке [ a; b ]. Рассмотрим разбиение отрезка: a = x ₀< x ₁< …< x _n–1< x _n= b. На каждом промежутке [ x_{k –1}; x_k ], где 1£ k £ n, выберем точку x _k. Обозначим D x_k = x_k – x_{k –1}. Диаметром разбиения назовем число d= и рассмотрим сумму f (x ₁)D x ₁+ f (x ₂)D x ₂+…+ f (x _n)D x _n; ее называют интегральной суммой данного разбиения.

Определение. Функция f (x) называется интегрируемой на отрезке [ a; b ], если при d®0 существует предел интегральных сумм, не зависящий от разбиения. Значение этого предела называется определенным интегралом функции f (x) на отрезке [ a; b ] и обозначается .

Замечание. можно рассматривать и в том случае, когда a < b. Как видно из определения интегральной суммы, при этом все D x_k < 0, поэтому = – .

Приведенные в пункте 4.1 примеры характеризуют геометрический и физический смысл определенного интеграла: если f (x)³ 0 на отрезке [ a; b ], то – площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями x = a, x = b, y = f (x), y =0; если r(x) – переменная линейная плотность стержня, расположенного на отрезке [ a; b ], то –масса этого стержня.

4.3.Основные теоремы об определенном интеграле

Следующие две теоремы примем без доказательства.

Теорема 1. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ], то она интегрируема на этом отрезке.

Теорема 2. Если функция f (x) интегрируема на отрезке [ a; c ] и на отрезке [ c; b ], где a < c < b, то f (x) интегрируема на отрезке [ a; b ], причем = + .

Равенство = + называют свойством аддитивности определенного интеграла.

Теорема 3 (о среднем значении). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ], то на этом отрезке существует такое число с, что = f (с)(b – a).

Доказательство. Пусть m и М – соответственно наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке. Тогда для всякой интегральной суммы S= справедливо неравенство: £ S£ , – то есть m(b – a)£ S£ M(b – a). А значит, m(b – a)£ £ M(b – a). Поэтому число заключено между наименьшим значением m и наибольшим значением M функции f (x). По теореме о промежуточном значении непрерывной на отрезке функции существует c Î [ a; b ]: f (с)= , – ч.т.д.

Значение f (с) называется в этом случае средним значением функции f (х) на отрезке [ a; b ]. Геометрически теорема 3 означает, что если f (x)³ 0 на отрезке [ a; b ], то площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями x = a, x = b, y = f (x), y =0, равна площади прямоугольника, построенного на этом отрезке и имеющего высоту, равную значению функции в некоторой точке отрезка.