Неопределенный интеграл. ?казательство. Поскольку (F(x)+С)¢=F¢(x)=f(x), то любая функция вида F(x)+С – первообразная функции f(x). ?казательство. Поскольку (F(x)+С)¢=F¢(x)=f(x), то любая функция вида F(x)+С – первообразная функции f(x)

1.1.Первообразная и неопределенный интеграл

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной функции f (x) на отрезке [ a; b ], если на этом отрезке f (x)= F¢ (x).

Примеры. 1)Поскольку = х ³ при любом х, то функция – первообразная функции х ³ на всей числовой прямой.

2)Поскольку =sin3 х при любом х, то функция – первообразная функции sin3 х на всей числовой прямой.

3)Поскольку = при х > 0, то функция ln x – первообразная функции при х > 0. Поскольку = при х < 0, то функция ln(– x) – первообразная функции при х < 0. Отсюда получаем, что при всех х ¹ 0 функция lnï x ï – первообразная функции .·

Теорема 1. Если функция f (x) имеет на отрезке [ a; b ] первообразную F(x), то она имеет на этом отрезке бесконечно много первообразных, причем любую из них можно записать в виде F(x)+С, где С – произвольная константа.

Доказательство. Поскольку (F(x)+С)¢ =F¢ (x)= f (x), то любая функция вида F(x)+С – первообразная функции f (x). С другой стороны, если какая-нибудь функция G(x) – первообразная функции f (x), то F¢ (x)=G¢ (x) на отрезке [ a; b ]. А тогда эти функции отличаются на константу: G(x)=F(x)+С. Теорема доказана.

Определение 2. Множество всех первообразных функции f (x) на данном отрезке называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается ò f (x) dx.

Если F(x) – одна из первообразных функции f (x), то пишут ò f (x) dx = F(x)+С.

Из определения сразу получаются два свойства неопределенного интеграла.

Теорема 2. d (ò f (x) dx)= f (x) dx.

Доказательство. Пусть ò f (x) dx = F(x)+С. Тогда d (ò f (x) dx)= d (F(x)+С)= F¢ (x) dx = f (x) dx, ч.т.д.

Теорема 3. ò dF (x) = F(x)+С.

Доказательство. ò dF (x)=ò F¢ (x) dx. Поскольку(F(x)+С)¢ = F¢ (x), то ò dF (x)= F(x)+С, ч.т.д.

1.2. Таблица неопределенных интегралов.

Свойство линейности

Используя таблицу производных, составим следующую таблицу неопределенных интегралов.

1. = х +С	2. = +С, k ¹ –1
3. = lnï x ï +С	4. = +C
5. = +C	6. = +C
7. = +C	8. = –cos х +С
9. = sin х +С	10. =tg x +C
11. = –ctg x +C	12. = +C
13. =ch x +C	14. =sh x +C
15. =th x +C	16. = –cth x +C

 

Примеры. 1) = . Используем формулу (2) для k = – : = +С= +С.

2) Вычислим . Используем формулу (4) для а =4: = +C.

3) Вычислим . Используем формулу (5) для а =4: = +C = +С.

4) Вычислим . Используем формулу (6) для а = : = +C.

5) Вычислим . Используем формулу (7) для а = : = +C. ·

Следующее свойство неопределенного интеграла позволяет вычислять интегралы от линейных комбинаций табличных функций.

Свойство линейности. Если a, b – числа, f (x) и g (x) – функции, имеющие первообразные, то ò (a f (x)+b g (x)) dx = aò f (x) dx +bò g (x) dx. Чтобы убедиться в справедливости этого равенства, достаточно продифференцировать правую часть.

Примеры. 1)Свойство линейности позволяет записать в виде + –5 =

+ –5 = lnï x ï + –5 +С= lnï x ï +2 + +С.

2) = =

+ = + =tg x –ctg x +C.·