Вычисление определенного интеграла

5.1.Существование первообразной

для непрерывной функции

Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ]. Тогда она интегрируема на любом отрезке [ a; х ], если х Î [ a; b ]. Поэтому на отрезке [ a; b ] можно определить функцию Ф(x)= .

Теорема 1. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ], то функция Ф(x)= дифференцируема на интервале (a; b), причем Ф¢ (x)= f (x) при х Î (a; b).

Доказательство. Рассмотрим приращение функции Ф(x): DФ= – . Тогда по свойству аддитивности определенного интеграла DФ= . А по теореме о среднем значении существует такое с Î [ х; х +D х ], что = f (с)D х. Отсюда = f (с), с Î [ х; х +D х ]. Тогда в силу непрерывности функции f (x) = f (x), ч.т.д.

Следствие. Функция, непрерывная на отрезке, имеет на этом отрезке первообразную.

5.2.Формула Ньютона-Лейбница

Теорема 2. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ] и F(x) – ее первообразная, то =F(b)–F(a).

Доказательство. Поскольку F(x) и Ф(x)= – первообразные функции f (x), то F(x)= +С. При х = а и х = b получаем: F(а)= +С, F(b)= +С. Отсюда С=F(а), F(b)= +F(а), =F(b)–F(a), ч.т.д.

Разность F(b)–F(a) обозначают F(х) .

Пример. Так как = +С, то = = .·

5.3.Свойства определенного интеграла

 

1. Если функции f (x) и g (x) интегрируемы на отрезке [ a; b ], a и b – числа, то = + . Это свойство называют свойством линейности.

Действительно, если F(x) и G(x) – первообразные соответственно функций f (x) и g (x), то по свойству линейности неопределенного интеграла aF(x)+bG(x) – первообразная функции a f (x)+b g (x). По формуле Ньютона-Лейбница =(aF(x)+bG(x)) =aF(x) +bG(x) = = + , ч.т.д.

2. Если функция f (x) непрерывна и положительна на отрезке [ a; b ], то > 0.

Действительно, по теореме о среднем значении = f (с)(b – a), где с Î [ a; b ]. Значит, f (с)> 0, а поэтому > 0, ч.т.д.

3. Если функции f (x) и g (x) непрерывны на отрезке [ a; b ], причем f (x)³ g (x), то ³ .

Действительно, по свойству линейности –

– = , а по свойству 2 этот интеграл неотрицателен, ч.т.д.

Пример. =(2^. +3^. –4 х) =

=( +3^. –4^.1)–( +3^. –4^.(–2))= –2–22= –24.·

 

5.4.Замена переменной в определенном интеграле

 

Правило замены переменной в неопределенном интеграле и формула Ньютона-Лейбница позволяют обосновать следующее утверждение. Пусть функция f (x) интегрируема на отрезке [ a; b ], а x =j(t) – непрерывная на отрезке [a; b] и дифференцируемая на интервале (a; b) функция, принимающая значения на отрезке [ a; b ], причем j(a)= a; j(b)= b. Тогда = .

Примеры. 1) =

= = = . Последнее равенство верно потому, что на данном отрезке cos t ³ 0, то есть ï cos t ï =cos t. = =

= = . Заметим, что – это площадь четверти круга с центром в начале координат и радиусом а.

2) = = =

= =0, 25arctg =0, 25(arctg1–arctg0)= .·

 

5.5.Интегрирование по частям в определенном интеграле

Правило интегрирования по частям в неопределенном интеграле и формула Ньютона-Лейбница позволяют обосновать следующее утверждение. Если функции u (x) и v (x) дифференцируемы на отрезке [ a; b ], то = uv – .

Пример. = =0, 5 xe ^{2 x} –

– =0, 5(2 e ⁴– e ²)–0, 25 e ^{2 x} = e ⁴–0, 5 e ²–0, 25 e ⁴+0, 25 e ²=

=0, 75 e ⁴–0, 25 e ².·