Геометрические и механические приложения

определенного интеграла

6.1.Площадь плоской фигуры

Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны на отрезке [ a; b ], причем f (x)³ g (x). Тогда площадь фигуры, ограниченной линиями x = a, x = b, y = f (x), y = g (x), можно найти по формуле: S= .

Примеры. 1) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями x =1, x =2, y =5– x, y = x. На отрезке [1; 2] имеем 5– x > x. Значит, S= = =(5 х – х ²) =6–4=2.

2) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями y = x –2 и y = x ²–4 х +2. Эти линии пересекаются при x =1 и x =4. На отрезке [1; 4] имеем x –2³ x ²–4 х +2. Значит,

S= = =

= = – =4, 5.

3) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями y =ï x –2ï и y = . Эти линии пересекаются при x =1 и x =4. На отрезке [1; 4] имеем ³ ï x –2ï. Значит,

S= = + =

= + = –

– + – = .·

Если фигура ограничена линией, заданной в полярных координатах: r=r(j), – и лучами j=a и j=b (a< b), то ее площадь можно найти по формуле: S= .

Пример. Найдем площадь фигуры, ограниченной линией r²=2cos2j и лучами j=0 и j= : S= =

=0, 5sin2j =0, 5.·

6.2.Длина гладкой дуги

Пусть дуга представляет собой часть графика функции у = f (x), имеющей на отрезке [ a; b ] непрерывную производную. Такая дуга называется гладкой. Ее длину можно найти по формуле: L= .

Пример. Найдем длину части цепной линии y =ch x при 0£ x £ 1.L= = =sh x =sh1 =0, 5(e – e ^–1).·

Пусть дуга задана параметрически: х = х (t), у = y (t), где tÎ [ a; b ], – причем функции х (t) и y (t) имеют на отрезке [ a; b ] непрерывные производные. Тогда длину дуги можно найти по формуле: L= .

Пример. Найдем длину части астроиды x =cos³ t, y =sin³ t при 0£ t £ . L= =

= = =

= = = =1, 5.·

Пусть дуга задана в полярных координатах: r=r(j), jÎ [a; b], – причем функция r(j) имеет на отрезке [a; b] непрерывную производную. Тогда длину дуги можно найти по формуле: L= .

Пример. Найдем длину части окружности r=2cosj при 0£ j£ . L= = = .·

6.3.Объем тела

Рассмотрим тело, заключенное между плоскостями х = а и х = b (a < b). Пусть S(x) – площадь его сечения плоскостью, проходящей через точку х оси абсцисс перпендикулярно этой оси, причем функция S(x) непрерывна на отрезке [ а; b ]. Тогда объем тела можно найти по формуле: V= .

В частности, для тела, полученного вращением криволинейной трапеции, ограниченной линиями x = a, x = b, y = f (x), y =0 (a < b, f (x)³ 0), около оси абсцисс, каждое сечение – круг радиуса f (x). Значит, площадь сечения равна p(f (x))² и формула объема тела вращения: V=p .

Примеры. 1) Рассмотрим пирамиду, высота которой представляет собой отрезок оси абсцисс от 0 до H, а основание лежит в плоскости y O z и имеет площадь S. Тогда площадь S(x) сечения, проходящего через точку х оси абсцисс перпендикулярно этой оси, равна S . Находим объем пирамиды: V= =

= = .

2) Рассмотрим шар с центром в начале координат и радиусом R. Он представляет собой тело, полученное вращением полукруга, ограниченного линиями x =–R, x =R, y =0, y = , около оси абсцисс. По формуле объема тела вращения V=p =p = .

3) Рассмотрим конус, высота которого представляет собой отрезок оси абсцисс от 0 до H, а основание лежит в плоскости y O z и имеет радиус R. Он представляет собой тело, полученное вращением треугольника, ограниченного линиями x =0, x =H, y =0, y = (H– x), около оси абсцисс. По формуле объема тела вращения V=p =

=p = .·

6.4.Центр масс и моменты инерции

1. Координаты центра масс гладкой однородной дуги, заданной уравнением y = f (x), a £ x £ b, можно найти по формулам: х _о= , у _о= .

Координаты центра масс однородной пластины, ограниченной линиями x = a, x = b, y = f (x), y =0 (a < b, f (x)³ 0), можно найти по формулам: х _о= , у _о= .

Примеры. 1) Найдем координаты центра масс однородной дуги цепной линии: y =ch x, –1£ x £ 1.

х _о= = = x sh x – =sh1–sh1–ch1 +ch1=0. у _о= = = =

= =1+0, 5sh2.

2) Найдем координаты центра масс однородной пластины, представляющей собой часть эллипса x =4cos t, y =3sin t, лежащую в первой четверти.

х _о= = = .

у _о= = = .·

2. Величину моментов инерции относительно осей О х и О у для гладкой однородной дуги, заданной уравнением y = f (x), a £ x £ b, можно найти соответственно по формулам:

I _х = , I _у = .

Величину моментов инерции относительно осей О х и О у для однородной пластины, ограниченной линиями x = a, x = b, y = f (x), y =0 (a < b, f (x)³ 0), можно найти соответственно по формулам: I _х = , I _у = .

Примеры. 1) Найдем момент инерции I _х для однородной полуокружности: y = , –1£ x £ 1.

I _х = = = = .

2) Найдем момент инерции I _у для однородной пластины, ограниченной эллипсом x =4cos t, y =3sin t.

I _у = = = =

= =48p.·