Криволинейные интегралы

3.1.Криволинейный интеграл I рода

 

Пусть функция f (x, y) определена и непрерывна во всех точках гладкой дуги L=AB, заданной уравнением y =j(x), где a £ x £ b. Рассмотрим разбиение этой дуги точками А₀, А₁, …, А_n, где А₀ = А, А_n = В. Пусть Ds_k – длина дуги A_k-1A_k, d = – диаметр разбиения. Выберем на каждой дуге A_k-1A_k точку (x_k, h_k). Сумма Ds_k называется интегральной суммой I рода.

Определение. Если существует предел интегральных сумм I рода при d ®0, не зависящий от разбиения, то этот предел называется криволинейным интегралом I рода функции f (x, y) по дуге L и обозначается .

Можно доказать, что криволинейный интеграл I рода равен определенному интегралу . Если же кривая L задана параметрически уравнениями x = x (t), y = y (t), a£ t £ b, то криволинейный интеграл I рода равен .

Если дуга L имеет линейную плотность f (x, y)> 0, то масса этой дуги равна (физический смысл криволинейного интеграла I рода).

Примем без доказательства свойства аддитивности и линейности криволинейного интеграла I рода.

1^о. Если дуга L является объединением дуг L₁ и L₂, имеющих не более одной общей точки, и существуют и , то существует и , равный их сумме.

2^о. = + .

3^о. = l .

Важным свойством криволинейного интеграла I рода является его независимость от направления интегрирования:

4^о. = .

 

3.2.Определение и свойства

криволинейного интеграла II рода

 

Пусть функции P(x, y) и Q(x, y) определены и непрерывны во всех точках гладкой дуги AB, заданной уравнением y =j(x), где a £ x £ b. Рассмотрим разбиение этой дуги точками А₀, А₁, …, А_n, где А₀=А, А_n=В. Обозначим через D x _k и D y _k проекции дуги A_k-1A_k на ось абсцисс и ось ординат соответственно и выберем на каждой дуге A_k-1A_k точку (x_k, h_k). Сумма называется интегральной суммой II рода.

Определение. Если существует предел интегральных сумм II рода при max(D x _k)®0 и max(D y _k)®0, не зависящий от разбиения, то этот предел называется криволинейным интегралом II рода и обозначается .

Если плоская гладкая дуга АВ находится в поле действия переменной силы , то работа этой силы при перемещении материальной точки по дуге АВ равна (физический смысл криволинейного интеграла II рода).

Примем без доказательства свойства криволинейного интеграла II рода.

1^о. = + .

2^о. Если дуга L является объединением дуг L₁ и L₂, имеющих не более одной общей точки, и существуют и , то существует и , равный их сумме (свойство аддитивности).

3^о. Если АВ – отрезок, параллельный оси абсцисс, то на этом отрезке y =const, поэтому dy =0, а значит, =0 и = .

4^о. Если АВ – отрезок, параллельный оси ординат, то на этом отрезке х =const, поэтому dх =0, а значит, =0 и = .

5^о. Важным свойством криволинейного интеграла II рода является его зависимость от направления интегрирования: = – .

Замечание. Последнее свойство проще всего понять, используя физический смысл криволинейного интеграла II рода: при движении по дуге в противоположных направлениях одна и та же сила совершает противоположную по знаку работу.

 

3.3.Вычисление криволинейного интеграла II рода

 

Пусть функции P(x, y) и Q(x, y) определены и непрерывны во всех точках гладкой дуги AB, заданной уравнением y =j(x), где a £ x £ b. Тогда

= (мы заменили y на ), и значит,

= .

Аналогично, если дуга АВ задана уравнением х = y(у), где c £ y £ d, получаем формулу:

= .

Наконец, если дуга АВ задана параметрически: x = x (t), y = y (t), a£ t £ b, – то

= .

Примеры. 1) Найдем в двух случаях:

а) дуга АВ – часть параболы y = x ², 0£ x £ 2; б) дуга АВ – часть параболы x = y ², 0£ y £ 4.

а) = = = =16.

б) = = = = =16.

2) Найдем , где дуга АВ – единичная окружность с центром в начале координат. Для этого зададим окружность параметрически: x =cos t, y =sin t, 0£ t £ 2p. Тогда = = –2p.

3) Пусть в плоскости x 0 y действует сила . Найдем работу этой силы при перемещении из точки А(1; 0) в точку В(2; 3), если путь представляет собой: а) отрезок АВ; б) ломаную АСВ, где С(2; 0).

а) Работа равна . Найдем уравнение отрезка АВ: , 1£ x £ 2, то есть у =3 х –3, 1£ x £ 2. Значит, = = = =(8–18+18)–(1–4, 5+9) =2, 5.

б) Работа равна . Воспользуемся аддитивностью криволинейного интеграла II рода:

= + , где L₁ – отрезок АС, L₂ – отрезок СВ. Уравнение отрезка АС: у =0, 1£ х £ 2; уравнение отрезка СВ: х =2, 0£ у £ 3. Так как отрезок АС параллелен оси абсцисс, то =

= . Значит, работа на отрезке АС равна =0.

Аналогично = , то есть работа

на участке СВ равна = = 1, 5.·

Замечание. В приведенном примере работа силового поля зависит не только от начального и конечного положения перемещаемой материальной точки, но и от пути перемещения.

3.4.Формула Грина

 

Рассмотрим область D, ограниченную гладкой замкнутой кривой L. Будем считать положительным такое направление обхода контура L, при котором область D остается слева.

Лемма 1. Пусть D – криволинейная трапеция, ограниченная прямыми x = a, x = b (a < b) и гладкими линиями y = g (x), y = h (x), где g (x)≤ h (x) при x Î [ a; b ] (криволинейная трапеция I вида), L – ее граница. Пусть функции P(x, y) и (x, y) непрерывны в области D. Тогда = – .

Доказательство. = =

= = . Так как интегралы по вертикальным отрезкам контура равны нулю, то полученная разность противоположна интегралу по всему контуру, то есть равна – , ч.т.д.

Аналогично доказывается и следующая лемма.

Лемма 2. Пусть D – криволинейная трапеция, ограниченная прямыми y = c, y = d (c < d) и гладкими линиями x = g (y), x = h (y), где g (y)≤ h (y) при y Î [ c; d ] (криволинейная трапеция II вида), L – ее граница. Пусть функции Q(x, y) и (x, y) непрерывны в области D. Тогда = .

Следствие. Формулы из лемм 1 и 2 верны, если область D – объединение конечного числа криволинейных трапеций I и II вида, не имеющих общих внутренних точек.

Отсюда вытекает следующая теорема.

Теорема 1. Пусть область D – объединение конечного числа криволинейных трапеций I и II вида, не имеющих общих внутренних точек, L – ее граница; функции P(x, y), Q(x, y), (x, y) и (x, y) непрерывны в области D. Тогда справедлива формула Грина:

= .

Пример. Вычислим с помощью формулы Грина , где L – граница области, ограниченной линиями y = x ²–3 x –2, y = x +3. Здесь P(x, y)= , = х + у –1, Q(x, y)= , = у + х. Значит, данный интеграл равен , где D – область, ограниченная линиями y = x ²–3 x –2, y = x +3. =

= = =36.·

 

3.5.Условие независимости

криволинейного интеграла II рода

от пути интегрирования

Будем называть область D односвязной, если любая замкнутая линия, содержащаяся в D, ограничивает область, полностью лежащую в D.

Теорема 2. Пусть функции P(x, y), Q(x, y), (x, y) и (x, y) непрерывны в односвязной области Е. Тогда =0 для любой гладкой замкнутой кривой LÌ Е тогда и только тогда, когда в любой внутренней точке области = .

Доказательство. Þ Пусть, например, < в некоторой точке (x _o, y _o)Î E. Тогда это неравенство выполняется в некотором круге D с центром в точке (x _o, y _o). Если L – граница этого круга, то = > 0, что противоречит условию. К такому же противоречию приводит и предположение, что > в некоторой точке (x _o, y _o)Î E. Значит, в любой внутренней точке области = .

Ü Если = в любой внутренней точке области Е, то по формуле Грина =0 для любой гладкой замкнутой кривой LÌ Е. Теорема полностью доказана.

Теорема 3. Пусть функции P(x, y), Q(x, y), (x, y) и (x, y) непрерывны в односвязной области Е, А и В – фиксированные точки этой области. Тогда , где L – гладкая замкнутая кривая, соединяющая точки А и В, не зависит от L тогда и только тогда, когда в любой внутренней точке области = .

Доказательство. Þ Пусть данные точки соединены двумя гладкими кривыми L₁ и L₂. Тогда они образуют гладкий контур L, целиком лежащий в Е. =0, так как интегралы по L₁ и по L₂ берутся с противоположными знаками. Значит, по теореме 2 в любой внутренней точке области = .

Ü Пусть данные точки соединены двумя гладкими кривыми L₁ и L₂. Тогда они образуют гладкий контур L, целиком лежащий в Е. Так как в любой внутренней точке области = , то =0 по теореме 2. Значит, интегралы по L₁ и по L₂ равны. Теорема полностью доказана.

Пример. Рассмотрим , где кривая L задана формулами x = t cos² t, y = t (cos t +1), 0≤ t ≤ p. Здесь P(x, y)=2 ху, =2 х, Q(x, y)= х ², =2 х, то есть = при всех (х, у). Значит, интеграл не зависит от пути интегрирования. Кривая L соединяет точки (0, 0) и (0, p). Заменим ее отрезком оси абсцисс от 0 до p: = =0.·

3.6.Восстановление функции по полному дифференциалу

 

Выражение P(x, y) dx +Q(x, y) dy будем называть полным дифференциалом, если существует функция z (x, y) (называемая первообразной полного дифференциала) такая, что dz =P(x, y) dx +Q(x, y) dy.

Теорема 4. Пусть функции P(x, y), Q(x, y), (x, y) и (x, y) непрерывны в односвязной области Е. Тогда выражение P dx +Q dy является полным дифференциалом тогда и только тогда, когда в любой внутренней точке области = .

Доказательство. Þ Пусть dz =P dx +Q dy. Тогда в любой внутренней точке области = , = . Так как P, Q, и непрерывны в области Е, то смешанные вторые частные производные равны: = .

Ü Фиксируем А(x _o, y _o)Î E. Пусть М(x, y)Î E – произвольная. Тогда , где кривая L соединяет точки А и М, не зависит от пути, то есть является функцией х и у. Обозначим ее v (x, y) и найдем частные производные этой функции.

1^о. v (x, y) = .

2^о. v (x +D x, y) = + , где L₁ соединяет точки М(x, y) и N(x +D x, y).

3^о. D _xv = = = =P(c, y)D x (по теореме о среднем).

4^о. = P(с, y).

5^o. = P(x, y) (так как функция P(x, y) непрерывна), значит,

Аналогично Значит, P dx +Q dy = dv – полный дифференциал. Теорема доказана полностью.

 

Пример. Докажем, что выражение (2 x cos y – y ²sin x) dx + (2 y cos x – x ²sin y) dy является полным дифференциалом. Здесь P(x, y)=2 x cos y – y ²sin x, = –2 х sin y –2 y sin x, Q(x, y)=2 y cos x – x ²sin y, = –2 y sin x –2 x sin y, = . Значит, данное выражение является полным дифференциалом. Найдем его первообразную z (x, y):

z (x, y)= = x ²cos y + y ²cos x +C(y). Тогда = – х ²sin y +2 y cos x +C¢ (y). Но =Q(x, y)=2 y cos x – x ²sin y, значит, C¢ (y)=0, C(y)=С. Значит, z (x, y) = x ²cos y + y ²cos x +C.·