Студопедия — Векторное поле
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Векторное поле






5.1.Поток векторного поля

 

Пусть каждой точке М(x, y, z) некоторой области пространства соответствует вектор а (М). В этом случае говорят, что в этой области пространства задано векторное поле (или вектор-функция точки).

Поверхностный интеграл I рода по поверхности S от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности называют потоком поля через поверхность.

Таким образом, поток К векторного поля а через поверхность S вычисляется по формуле: К = . Заметим, что подынтегральная функция равна проекции вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности. Используя связь поверхностных интегралов I и II рода, поток можно записать в виде: К = , где P, Q, R – проекции вектора поля на координатные оси.

Пример. Найдем поток векторного поля a = z ix j + y k через верхнюю сторону треугольника, полученного при пересечении плоскости 3 х +6 у –2 z –6=0 с координатными плоскостями.

К = = .

Для данной плоскости орт нормали n = ±(; ; – ). Так как на верхней стороне плоскости он образует с осью O z острый угол, то выбираем n = (– ; – ; ). Тогда два первые слагаемые нужно брать с минусом, а последнее – с плюсом. Окончательно получаем:

К = , где области интегрирования – проекции треугольника на соответствующие координатные плоскости. ; ; .

Итак, К = + 2 + =

 

5.2. Дивергенция векторного поля

 

Пусть каждой точке М(x, y, z) некоторой области пространства соответствует вектор а (М)={P(x, y, z); Q(x, y, z); R(x, y, z)}. Дивергенцией такого векторного поля в точке М называется число div a (M) = .

Используя понятие дивергенции, можно переписать формулу Остроградского-Гаусса в векторной форме: = , – поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении «изнутри» равен интегралу дивергенции этого поля по объему, ограниченному данной поверхностью.

 

5.3. Циркуляция векторного поля

 

Пусть каждой точке М(x, y, z) некоторой области пространства соответствует вектор а (М)={P(x, y, z); Q(x, y, z); R(x, y, z)}. Выберем в этой области гладкую замкнутую кривую L. Циркуляцией векторного поля вдоль контура L называется число C= .

Пример. Вычислим циркуляцию векторного поля a =(x –2 z) i +(x +3 y + z) j +(5 x + y) k вдоль контура треугольника с вершинами А(1; 0; 1), В(0; 1; 0) и С(0; 0; 1).

C= =

= + + .

На отрезке АВ х + у =1, z =0, поэтому

= . Аналогично = – и = –3. Отсюда С = –3.·

5.4. Ротор векторного поля

 

Пусть каждой точке М(x, y, z) некоторой области пространства соответствует вектор а (М)={P(x, y, z); Q(x, y, z); R(x, y, z)}. Ротором векторного поля в точке М называется вектор rot a (M) = . Удобно записывать ротор в виде определителя:

rot a (M) = .

Используя понятия циркуляции и ротора, можно переписать формулу Стокса в векторной форме: = , – поток ротора векторного поля через поверхность равен циркуляции этого поля вдоль контура, ограничивающего данную поверхность. Контур обходится при этом в положительном направлении.

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

  1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М. Наука. 1969 г.
  2. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. М. Наука. 1973 г.
  3. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Части 1, 2. М. Высшая школа. 1981 г.
  4. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. М. Высшая школа. 1983 г.

 

Св. план г., поз.

 

Арутюнян Елена Бабкеновна

 

Математика

Часть 3

 

Учебное пособие

 

___________________________________________

 

Подписано в печать Тираж – 100 экз.

Усл.-печ. л. – Формат

Заказ

_____________________________________________________________

 

127994, Москва, ул. Образцова, д.9, стр.9.

Типография МИИТа







Дата добавления: 2014-11-12; просмотров: 1272. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

Закон Гука при растяжении и сжатии   Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой зависимостью, которая называется законом Гука, по имени установившего этот закон английского физика Роберта Гука в 1678 году...

Характерные черты официально-делового стиля Наиболее характерными чертами официально-делового стиля являются: • лаконичность...

Этапы и алгоритм решения педагогической задачи Технология решения педагогической задачи, так же как и любая другая педагогическая технология должна соответствовать критериям концептуальности, системности, эффективности и воспроизводимости...

Кран машиниста усл. № 394 – назначение и устройство Кран машиниста условный номер 394 предназначен для управления тормозами поезда...

Приложение Г: Особенности заполнение справки формы ву-45   После выполнения полного опробования тормозов, а так же после сокращенного, если предварительно на станции было произведено полное опробование тормозов состава от стационарной установки с автоматической регистрацией параметров или без...

Измерение следующих дефектов: ползун, выщербина, неравномерный прокат, равномерный прокат, кольцевая выработка, откол обода колеса, тонкий гребень, протёртость средней части оси Величину проката определяют с помощью вертикального движка 2 сухаря 3 шаблона 1 по кругу катания...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия