Двойные интегралы

1.1.Определение двойного интеграла

Пусть DÍ R ² – замкнутая область, ограниченная непрерывной кривой. Пусть f (x, y) – функция, заданная и ограниченная на D. Пусть D = D₁È D₂È … È D_n, где D_1, D₂, … D_n – области, не имеющие общих внутренних точек. Обозначим через S_k площадь области D_k, а через d _k – ее диаметр (наибольшее расстояние между точками данного множества). Набор D_1, D₂, … D_n назовем разбиением области D. Пусть d = – диаметр разбиения. В каждой области D_k выберем точку () и составим интегральную сумму, соответствующую данному разбиению:

S = .

Определение. Если существует предел интегральных сумм при d ®0, не зависящий от разбиения, то функция f (x, y) называется интегрируемой в области D, а предел интегральных сумм называется двойным интегралом функции f (x, y) по области D и обозначается .

Примем без доказательства следующие утверждения.

1^о. Если функция f (x, y) непрерывна в области D, то она интегрируема в этой области.

2^о. Пусть в плоскости R ² область D занята неоднородной пластиной, точечная плотность которой в точке (x, y) равна r(x, y). Тогда масса этой пластины равна (физический смысл двойного интеграла).

3^о. Пусть DÍ R ² и DÍ D(f), где f (x, y) – неотрицательная функция. Тогда объем цилиндрического бруса, ограниченного снизу областью D, а сверху – поверхностью z = f (x, y), равен (геометрический смысл двойного интеграла).

1.2.Свойства двойного интеграла

1^о. равен площади области D.

Доказательство. Составим интегральную сумму для функции f (x, y)=1. Тогда эта сумма равна сумме площадей областей D_k, то есть равна площади области D. Значит, все интегральные суммы одинаковы, поэтому их предел тоже равен площади области D, ч.т.д.

2^о. = l .

Доказательство. Каждая интегральная сумма для функции l f (x, y) получается из интегральной суммы для функции f (x, y) умножением на l. Значит, и предел интегральных сумм для первой функции равен пределу интегральных сумм для второй функции, умноженному на l, то есть =l ), ч.т.д.

3^о. = + .

Доказательство. Каждая интегральная сумма для функции f ₁(x, y)+ f ₂(x, y) является суммой интегральных сумм для функций f ₁(x, y) и f ₂(x, y). Значит, и предел интегральных сумм для первой функции равен сумме пределов интегральных сумм для функций f ₁(x, y) и f ₂(x, y), то есть = + , ч.т.д.

Свойства 2^о и 3^о – это свойства линейности двойного интеграла.

4^о. Если функция f (x, y) интегрируема и неотрицательна в области D, то ее интеграл по этой области – неотрицательное число.

Доказательство. В любой интегральной сумме каждое слагаемое неотрицательно (неотрицательное значение функции умножается на положительное число – площадь области D_k). Значит, и предел интегральных сумм – число неотрицательное, ч.т.д.

5^о. Если функции f (x, y) и g (x, y) интегрируемы в области D, причем f (x, y)³ g (x, y), то ³ .

(Следствие предыдущего утверждения).

6^о. Аддитивность двойного интеграла. Если область D разбита на две области D₁ и D₂, не имеющие общих внутренних точек, и функция f (x, y) интегрируема в каждой из этих двух областей, то эта функция интегрируема и в области D, причем = + .

(Без доказательства).

7^о. Теорема о среднем. Если функция f (x, y) непрерывна в области D, то существует точка (x, h)Î D такая, что = f (x, h)^.S, где S – площадь области D. При этом число f (x, h) называется средним значением данной функции в данной области.

(Без доказательства).

1.3.Вычисление двойного интеграла

Пусть D – криволинейная трапеция, ограниченная линиями x = a, x = b, y = g (x), y = h (x), где g (x)£ h (x) при x Î [ a; b ] (так называемая криволинейная трапеция I типа). Пусть f (x, y) – неотрицательная непрерывная на D функция. Рассмотрим цилиндрический брус с основанием D, ограниченный сверху поверхностью z = f (x, y). Пересечем этот брус плоскостью x = t и обозначим через S(t) площадь сечения. Тогда объем бруса равен . Спроецируем сечение на плоскость y O z. Получим криволинейную трапецию, ограниченную линиями: y = g (t), y = h (t), z =0, z = f (t, y). Значит,

S(t)= . Итак, объем бруса равен , или . Но объем бруса равен двойному интегралу функции f (x, y) по области D. Итак, для криволинейной трапеции I типа и для неотрицательной функции f (x, y) мы получили формулу:

= . (1)

Эта формула справедлива для любой функции, непрерывной на криволинейной трапеции I типа.

Замечания. 1) Для криволинейной трапеции II типа (ограниченной линиями y = c, y = d, x = g (y), x = h (y), где g (y)£ h (y) при y Î [ c; d ]) формула (1) видоизменяется так:

= . (2)

2) При вычислении «внутреннего» интеграла та переменная, по которой интегрирование не ведется, считается константой.

Примеры. 1) Вычислим двойной интеграл , где область D ограничена линиями y =2, y = x, xy =1. Изобразим область D на координатной плоскости. Линии y = x и xy =1 пересекаются в точке (1; 1), линии y = x и y =2 – в точке (2; 2), а линии y =2 и xy =1 – в точке (0, 5; 2). Поэтому область D – объединение двух криволинейных трапеций I типа: D₁ (ограничена линиями x =0, 5, x =1, y = и y =2) и D₂ (ограничена линиями x =1, x =2, y = x и y =2). Значит, = + . Поскольку £ 2 при x Î [0, 5; 1], то для первой криволинейной трапеции получаем: = = = =

= =

= = .

Аналогично, поскольку x £ 2 при x Î [1; 2], то для второй криволинейной трапеции получаем:

= = == = = = = .

Итак, = + = .

Заметим, что область D можно рассматривать как криволинейную трапецию второго типа, ограниченную линиями y =1, y =2, x = и x = y. Поскольку £ y при y Î [1; 2], то = = = = =

= = .

2) Найдем объем тела, ограниченного координатными плоскостями, круговым цилиндром x ²+ y ²=R² и гиперболическим параболоидом z = xy, где x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0. Это тело представляет собой цилиндрический брус, основанием которого является область D – четверть круга в плоскости x 0 y (x ²+ y ²=R², где x ³ 0, y ³ 0), а сверху его ограничивает поверхность z = xy. Значит, объем этого цилиндрического бруса равен . Область D представляет собой криволинейную трапецию I типа, ограниченную линиями x =0, x =R, y =0, y = . Значит, = = = = = .·

1.4.Вычисление двойного интеграла

в полярных координатах

В некоторых случаях бывает удобно пользоваться следующей формулой, которую мы примем без доказательства:

=

Если область D ограничена лучами j=a, j=b (a< b) и линиями r=r₁₍j) и r=r₂(j), где r₁₍j)£ r₂(j) при a£ j£ b, то это равенство переписывается в виде:

= .

Пример. Вычислим , где D – сектор круга x ²+ y ²£ 4, лежащий в III четверти между прямыми y = x и у = х . Для этого заметим, что в третьей четверти на луче прямой y = x угол j= –p+arctg1= – , а на луче прямой y = x угол j= –p+arctg = – . Область D ограничена этими лучами и линиями r=0 и r=2. Значит,

= =

= =

= =(2j – sinj+ cosj) = = .·