Поверхностные интегралы

 

4.1.Поверхностный интеграл I рода

 

Пусть поверхность S задана в пространстве уравнением z = z (x, y), где функция z (x, y) имеет непрерывные частные производные в некоторой области DÍ R ². В этом случае будем называть поверхность гладкой.

Пусть теперь поверхность S содержится в области определения непрерывной функции f (x, y, z). Разобьем поверхность на n частей S₁, S₂, …, S_n; обозначим через DS_k площадь части S_k, а через d _k – ее диаметр. Пусть d = – диаметр разбиения. Пусть ()Î S_k. Составим интегральную сумму: S= . (*)

Определение. Если существует предел интегральных сумм (*) при d ®0, не зависящий от разбиения, то он называется поверхностным интегра л ом I рода функции f (x, y, z) по поверхности S и обозначается .

Примем без доказательства следующие свойства поверхностного интеграла I рода.

1^о. равен площади поверхности S.

2^о. = l .

3^о. = +

+ .

Напомним, что свойства 2^о и 3^о – это свойства линейности.

4^о. Если на поверхности S выполняется неравенство f (x, y, z)³ g (x, y, z), то ³ .

5^о. Если поверхность S разбита на части S₁ и S₂, не имеющие общих внутренних точек, то = = + (свойство аддитивности).

6^о. .

7^о. Если функция f (x, y, z) непрерывна на поверхности S и s – площадь поверхности, то существует такая точка (x, h, z)Î S, что = f (x, h, z)^.s (теорема о среднем).

Можно доказать, что если поверхность S задана уравнением z = z (x, y), (x, y)Î D, то вычисление поверхностного интеграла I рода сводится к вычислению двойного интеграла: = .

4.2.Поверхностный интеграл II рода

 

Пусть опять поверхность S задана уравнением z = z (x, y), где функция z (x, y) имеет непрерывные частные производные в некоторой области DÍ R ². Пусть S содержится в области определения непрерывной функции f (x, y, z). Зафиксируем одну из сторон поверхности и разобьем ее на n частей S₁, S₂, …, S_n. Обозначим через Ds_k площадь проекции S_k на плоскость x O y, взятую со знаком «+», если нормаль к выбранной стороне поверхности составляет с осью O z острый угол, и со знаком «–» – в противном случае. В каждой части S_k выберем точку () и составим интегральную сумму: S = . (*)

Определение. Если существует предел интегральных сумм (*) при d ®0 (d – диаметр разбиения), не зависящий от разбиения, то он называется поверхностным интегралом II рода функции f (x, y, z) по переменным х и у по выбранной стороне поверхности S и обозначается . Аналогично определяются поверхностные интегралы II рода по переменным у и z или х и z.

В общем виде поверхностный интеграл II рода имеет вид: . Если выбранная сторона поверхности имеет вектор нормали , то поверхностный интеграл второго рода связан с интегралом первого рода формулой: = .

Поверхностный интеграл II рода обладает свойствами линейности и аддитивности. Он меняет знак при перемене стороны поверхности.

Вычисление поверхностного интеграла II рода сводится к вычислению двойного интеграла следующим образом. Рассмотрим интеграл по х и у. Пусть поверхность S задана уравнением z = z (x, y) и пусть D _xy – проекция S на плоскость х О у. Выберем сторону поверхности так, чтобы нормаль к ней образовывала с осью О z острый угол. Тогда

= . Если же выбрать другую сторону поверхности, то интеграл берется с минусом. Аналогично вычисляется интеграл и по другим парам координат.

4.3.Формула Остроградского-Гаусса

 

Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между поверхностным интегралом II рода по замкнутой поверхности и тройным интегралом по области, ограниченной этой поверхностью:

= .

Здесь V – область, ограниченная гладкой поверхностью S; функции P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) непрерывны в этой области вместе со своими частными производными; интегрирование ведется по внешней стороне.

Пример. Вычислим , где S – внешняя сторона поверхности пирамиды, ограниченной плоскостями 2 х –3 у + z =6, x =0, y =0, z =0.

По формуле Остроградского-Гаусса

= =

= = – . Этот тройной интеграл равен объему пирамиды с вершинами A(3; 0; 0), B(0; –2; 0), C(0; 0; 6), O(0; 0; 0). V= = 6. Значит,

= –6.·

4.4.Формула Стокса

 

Формула Стокса устанавливает связь между поверхностным и криволинейным интегралами II рода:

=

= . Здесь S – область, ограниченная гладкой кривой L; функции P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) непрерывны на этой поверхности вместе со своими частными производными; интегрирование ведется в положительном направлении (то есть S остается слева).

Пример. Вычислим , где L – окружность х ²+ у ²=R² в плоскости z =0, сначала непосредственно, а затем по формуле Стокса.

Перепишем уравнение окружности в параметрической форме: x =Rcos t, y =Rsin t, z =0, t Î [0; 2π ].

Тогда =

= + =

= – +0 = – .

По формуле Стокса =

= =

= , где D – круг (поверхность S совпадает со своей проекцией на плоскость х О у). Вычислим двойной интеграл с помощью полярной замены: =

= = = . Значит, исходный интеграл равен – .·