При растяжении - сжатии

 

Стержень, закрепленный с одной стороны, загружен силами P₁=40Кн, Р₂=70кН, Р₃₌30кН, Р₄=110кН. Продольные размеры стержня: а=1м, b=1.2м, с=2м, d=0.8м. Допускаемые напряжения на растяжение [ s_р ] = 50МПа, допускаемые напряжения на сжатие [ s_сж ] = 200МПа. Модуль нормальной упругости Е=2∙ 10⁵МПа.

Требуется определить:

1) Из условия прочности диаметр круглого, постоянного по всей длине стержня;

2) Деформацию всего стержня.

3) Из условия прочности площади поперечных сечений на каждом участке и сравнить массу полученного стержня с массой стержня, полученного в п.1;

5) Деформацию ступенчатого стержня и сравнить ее с полученной в п.2.

Рис. 1

Под действием внешних нагрузок (Р₁, Р₂, Р₃, Р₄ )в теле стержня возникают внутренние усилия-напряжения s в еличина которых определяется методом сечений. По этому методу в том месте, где определяются напряжения проводится сечения (рис. 1) и рассматривается равновесие одной части стержня под действием внешних сил действующих на эту часть и внутренних усилий действующих в сделанном сечении.

Рис. 2

Рассмотрим часть стержня левее сечения I-I (рис. 2). На рассматриваемую часть действует внешняя сила Р₁. По сечению I-I действуют внутренние усилия-напряжения s_1, равнодействующая которых- N_I. Рассматриваем равновесие этой части стержня:

40(кН).

Из условия прочности необходимая величина площади поперечного сечения этой части стержня А_I определится:

.

Диаметр первой части стержня определится:

Изменение длины участка «а»:

а =

Рассмотрим часть стержня левее сечения II-II (Рис.3). На рассматриваемую часть действуют внешние силы Р₁и Р₂

По сечению II-II действуют

внутренние усилия-напряжения

Рис.3

s_II, равнодействующая которых- N_II. Рассматриваем равновесие этой части стержня:

Как видно, в уравнение N внешняя сила входит со знаком плюс если направлена от сечения (Р₁) и со знаком минус, если направлен к сечению (Р₂).Или же растягивающая сила со знаком плюс, сжимающая со знаком минус. И если в результате вычисления получаем N со знаком плюс это значит, что рассматриваемый участок растянут, а если со знаком минус-то сжат. Полученное значение N_II=-30 говорит о том, что второй участок сжат и при определении площади сечения необходимо брать допускаемое напряжения для сжатия

Необходимая площадь поперечного сечения:

А_II= N_II / =-30∙ 10³ /(-200∙ 10⁶)=0, 15∙ 10^-3(м²)=1.5(см²)

Диаметр второй части стержня:

Изменение длины участка «b»:

Рассмотрим часть стержня левее сечения III-III (рис.4). На рассматриваемую часть действуют внешние силы Р₁, Р₂ и Р₃.

По сечению III-III действуют внутренние усилия-напряжения s_III, равнодействующая которых- N_III.

Рассматриваем равновесие этой части стержня:

Рис. 4

Необходимая площадь поперечного сечения А_III:

Диаметр третьей части стержня определится:

Изменение длины участка «с»:

Рис. 5

Рис. 5

Рассмотрим часть стержня левее сечения IV-IV (рис.5). На рассматриваемую часть действуют внешние силы Р₁, Р₂ Р₃и P₄.

По сечению IV-IV действуют внутренние усилия-напряжения s_IV равнодействующая которых- N_IV.

Рассматриваем равновесие этой части стержня:

Необходимая площадь поперечного сечения А_IV

Диаметр четвёртой части стержня определится

.

Изменение длины участка «d»:

Суммарная деформация всего стержня складывается из деформаций отдельных его частей:

На рисунке 6 показан чертёж стержня построенный на основании результатов расчёта. Диаметры частей указаны в сантиметрах.Все части стержня будут загружен на 100%.

Рис. 6

Объём части стержня длиной «a»:

Объём части стержня длиной «b»:

Объём части стержня длиной «c»:

Объём части стержня длиной «d»:

Полный объём всего стержня:

Если стержень изготавливать по всей длине одинакового диаметра, то он будет равен 3.56 см. В этом случае часть «d» будет загружена на 100%, все остальные будут недогружены.

Рис.7

Чертеж такого стержня показан на рисунке 7. Объем стержня в этом случае будет:

Соотношение объёмов, а следовательно и масс будет:

.

Деформация стержня постоянного поперечного сечения по всей длине определится:

Соотношение деформаций стержней по второму и первому варианту:

.