Возбуждения в неупорядоченных системах

Рассмотрим характерные колебательные, магнитные и электронные возбуждения в таких системах. В описании этих возбуждений имеется много общих математических черт.

1. Фононная система. Пусть, например, конфигурация системы соответствует минимуму потенциальной энергии, причем j -й атом располагается в точке . Как и в обычной теории колебаний решетки, допустим, что при малом смещении этого атома возникают возвращающие силы, линейные по относительным смещениям соседних атомов. Тогда классические уравнения движения для таких смещений запишутся в виде:

. (6.1)

Здесь есть масса j -ого атома, тензор описывает силы, возникающие в узле при смещении атома в узле .

В периодической решетке одинаковых атомов силовые постоянные обладают трансляционной симметрией:

. (6.2)

Тогда все N уравнений (6.1) становятся эквивалентными, переходя одно в другое при сдвиге решетки. Это свойство симметрии позволяет упростить рассматриваемую систему уравнений с помощью преобразования Фурье. В результате получаются фононные моды кристалла. В неупорядоченных системах, где различные коэффициенты могут быть случайными переменными, такой общей симметрии нет, и уравнение (6.1) надлежит решать другими способами.

Простейший пример составляет случай идеального изотопического беспорядка, когда массы в эквивалентных узлах решетки не одинаковы. Очевидно, это есть лишь очень частный случай беспорядка замещения, вместе с тем такой подход часто используется, чтобы описать влияние различия масс на динамику решетки сплава замещения. В принципе надо было бы включить в рассмотрение и корреляции, связанные с ближним и дальним порядком в пространственном распределении различных типов атомов. Однако большое внимание уделяется и модели бинарного сплава, в которой атомы типов А и В с массами и распределены в правильной решетке случайным образом. Интересуясь в основном спектром нормальных колебаний, допустим, что все смещения изменяются во времени с одной и той же частотой w. Тогда систему (6.1) можно переписать в виде

. (6.3)

Очевидно, при наличии изотопического беспорядка изменяются лишь диагональные элементы матрицы, соответствующей уравнениям (6.3). Однако в настоящем сплаве «химические» различия между компонентами приводят и к изменению силовых постоянных, что ведет к нарушению условия симметрии (6.2). В этом случае нельзя пренебречь и недиагональным беспорядком.

В общем случае (в жидкости или газе) положения равновесия, характеризуемые векторами , не соответствуют периодической решетке. В такой системе не только все компоненты тензора сил суть случайные величины, но даже само понятие «близости» узла j к данному узлу l можно определить лишь статистически. Именно поэтому так трудно построить теорию возбуждений в топологически неупорядоченных системах.

2. Магнитная система. Благодаря известной аналогии между фононами и магнонами сразу ясно, что уравнения, описывающие отклонения спинов, можно записать по образцу системы (6.3). Например, для спинового гамильтониана в условиях ферромагнетизма можно записать

. (6.4)

Воспользуемся Гейзенберговским представлением и запишем уравнения движения для каждого из операторов спиновых отклонений

в следующем виде:

.

Если допустить, что все величины изменяются с одинаковой частотой w и что система почти упорядочена (условие 6.4), то мы придем к системе уравнений

.(6.5)

Эта система уравнений аналогична по структуре системе (6.3).

3. Электронная система. Вполне естественно, что похожие уравнения получаются и при описании электронных состояний конденсированной среды в модели сильно связанных электронов. Пусть потенциальная энергия электрона в изолированном j -м атоме есть . В этом поле существуют атомные уровни энергии , которым соответствуют различные атомные орбитали . Допустим далее, что потенциальная энергия электрона в рассматриваемой системе дается просто суммой энергий, которыми он обладал бы в системе отдельных атомах:

. (6.6)

Тогда естественно предположить, что решение уравнения Шредингера

(6.7)

можно представить в виде линейной комбинации атомных орбиталей (ЛКАО):

. (6.8)

Подставляя разложение (6.8) в уравнение (6.7) и используя свойства атомных орбиталей (ортогональность и нормированность), получаем систему линейных уравнений для определения коэффициентов u.

Для больших систем различные интегралы перекрытия, входящие в эти уравнения, сложны и неопределенны. Они могут быть вычислены из первых принципов только численными методами с использованием принципа минимизации полной энергии системы. Иногда используют упрощенную форму указанных уравнений:

. (6.9)

Здесь матричные элементы модельного гамильтониана подбираются эмпирически с таким расчетом, чтобы воспроизвести структуру электронных зон в данном кристалле. Отметим еще раз близкую аналогию между полученными уравнениями и системой (6.3).

Итак, можно сказать, что уравнения (6.3, 6.5, 6.9) имеют один и тот же вид:

(6.10)

(здесь a- фиксировано, рассматриваем одну энергетическую зону), где переменная соответствует амплитуде возбуждения на j -м узле, а переменная l, характеризующая спектр возбуждений, соответствует:

- либо квадрату частоты колебаний ,

-либо энергии h w магнона или экситона,

-либо собственному значению энергии E электронного гамильтониана всей системы.

Cтатистические характеристики диагональных элементов и недиагональных элементов можно установить, сопоставляя системы уравнений (6.3), (6.5) или (6.9). В задаче о колебаниях решетки такое сопоставление дает

, . (6.11)

Если «исходные» узлы образуют периодическую решетку, то естественно заменить индекс j вектором решетки . В упорядоченной системе энергия не зависела бы от j, а величины удовлетворяли бы условию трансляционной симметрии (6.2). При этом уравнения (9) можно было бы сразу решить, пользуясь теоремой Блоха . Совершив преобразования Фурье, получим:

. (6.12)

Параметр l здесь оказывается собственным значением матрицы в правой части выражения.

При рассмотрении колебаний решетки это является обычной динамической матрицей для квадратов частот нормальных колебаний с волновым вектором q.

В простейшей модели металла с сильной связью, когда каждому узлу соответствует один атомный уровень энергии, мы получаем типичную зону разрешенных состояний с энергиями

. (6.13)

Если «интеграл перекрытия» отличен от нуля лишь для ближайших z соседей данного узла (он тогда равен V), то центру зоны соответствует энергия , а полная ширина зоны дается выражением

, (6.14)

где В – ширина зоны.

Энергия электрона в зоне достигает минимума и максимумов соответственно в центре (q = 0) и на границах зоны Бриллюэна. Параметр В удобно использовать в качестве энергетического масштаба системы: он характеризует величину взаимодействия между соседними узлами решетки. Разумеется, сделанные замечания совершенно тривиальны с точки зрения обычной физики твердого тела, а модель электронной или фононной зоны, записанная в виде (6.13), очень далека от настоящих систем.

Однако в теории неупорядоченных систем зачастую только такие простые модели и удается рассматривать с известным успехом.