Возбуждения в одномерных системах

Рассмотрим возбуждения в неупорядоченной одномерной цепочке.

1. Диагональный беспорядок уровней энергии и недиагональный беспорядок матричных элементов потенциальной энергии могут быть связаны с двумя причинами:

- во-первых, могут иметь место физические или химические различия между компонентами периодически расположенных ячеек периодической цепочки;

- во-вторых, возможны флуктуации относительных расстояний между атомными центрами в цепочке, а беспорядок получается как следствие этих флуктуации.

2. Наиболее серьезное ограничение полезности одномерных моделей с теоретической точки зрения связано с обязательной топологической их упорядоченностью. Это означает, например, что «индекс узла» j в уравнениях (6.10) всегда эквивалентен «вектору» периодической решетки, в которой среднее межатомное расстояние такое же, как и в настоящей системе.

Говоря математическим языком, нет возможности отличить беспорядок замещения в «одномерном сплаве» от эффектов, связанных со случайным характером расстояний между атомами в «одномерном стекле» или «одномерной жидкости». Физические допущения, лежащие в основе модели, влияют лишь на статистические характеристики величин, фигурирующих в качестве диагональных и недиагональных элементов в уравнениях (6.10).

3. Неизбежность последовательности атомов (в случае одномерной модели) позволяет сформулировать другой поход к поиску метода решения уравнений (10).

Мы не сильно потеряем в общности, если допустим, что величины отличны от нуля лишь для ближайших соседей. Тогда система (6.10) принимает вид:

. (6.15)

Введем матрицу переноса, которая генерирует последовательные дифференциальные уравнения вида (6.10).

или (6.16)

Здесь - вектор амплитуд двух соседних ячеек , а вектор - амплитуды в предыдущей паре узлов.

Отсюда следует, что возбуждение в - м узле порождается соответствующим возбуждением в предыдущем узле, умноженным на матрицу переноса . В простейшем случае - это матрица 2 × 2, компоненты которой даются выражением (6.16).

Таким образом, матрица переноса однозначно связана с каждой ячейкой решетки. Распространение возбуждения вдоль цепочки можно изобразить в виде матричного произведения последовательности соответствующих матриц. Пользуясь соотношением (16), получаем:

. (6.17)

Для упорядоченной системы, в которой все матрицы переноса одинаковы, можно записать

. (6.18)

Влияние беспорядка сводится к тому, что матрицы переноса меняются от ячейки к ячейке за счет случайных вариаций элементов матрицы (6.16). Другими словами, матрица переноса есть случайная функция номера узла ; функция распределения ее значений определяется физическими особенностями данной модели.

Рассмотрим более конкретную задачу о движении электрона в поле одномерного случайного потенциала, имея в виду беспорядок замеще­ния, мы можем построить модель сплава Кронига - Пенни (рис. 6.1 а). Узлам решетки в этой модели приписываются дельтообразные потенциалы с различными «силами» .

Можно ввести и модель жидкости Кронига - Пенни (рис. 6.1 б), в которой случайной переменной служит расстояние между соседними дельта-функциями .

В обоих случаях обычная теория модели Кронига - Пенни для периодической цепочки подсказывает нам, что решение уравнения Шредингера при энергии строится из волновых функций свободного электрона с волновыми числами .

Пусть координата принадлежит l -му «открытому промежутку» (). Тогда указанную функцию можно записать в виде:

. (6.19)

 

 

 

 

Рис.6.1. Модели Кронига - Пенни: а - «сплав»; б - «жидкость».

 

Коэффициенты здесь пока произвольны. Однако функцию (6.19) по прохождении через сингулярность надо «сшить» с волновой функцией из соседнего промежутка. Условия сшивания при таком переходе имеют вид:

. (6.20)

Подставляя выражение (6.19) в условия (6.20), получаем линейные уравнения для последовательных амплитуд возбуждения

.

В матричной форме эти уравнения имеют вид: (6.21)

 

Если отвлечься от физического смысла возбуждения , то полученное выражение имеет такую же форму, что и соотношение (16). Для упорядоченной системы все матрицы переноса были бы, как и в формуле (6.18), одинаковы для всех узлов. Для наших неупорядоченных моделей элементы матриц надо определять статистически, задавая функцию распределения случайных переменных x и/или d.

5. Все же то, что мы сейчас рассмотрели, есть достаточно частный случай. Любую одномерную потенциальную энергию можно представить в виде одномерной последовательности «атомных потенциалов» , разделенных участками (может быть, бесконечно узкими), на которых потенциальная энергия равна нулю (рис. 6.1). Таким образом, математическая задача сводится к исследованию возбуждений, распространение которых вдоль цепочки описывается уравнениями типа (6.16); при этом элементы матрицы суть случайные переменные. Метод матрицы переноса (6.16) можно использовать для любых теоретических моделей возбуждений в одномерной цепочке. Случай, когда возбуждение имеет только две компоненты, обладает достаточной общностью. Он описывает большинство моделей колебательных или электронных возбуждений в цепочке «сплава» или «жидкости». Эти физические задачи математически сводятся к изучению результатов преобразования двумерного вектора при последовательном умножении его на матрицы - матрицы 2 × 2 со случайными элементами.

 

 

Рис.6.2. а - непрерывная случайная потенциальная энергия ; б - ее разбиение в нулевых точках (со случайными расстояниями x между ними) на одномерную цепочку случайных ячеистых «потенциалов» .

 

Заметим, что в двух- и трех- мерном случаях все рассмотренные выше обобщения оказываются несправедливыми из-за возможности обхода некоторого узла.