Приближение локальной плотности

Если функция распределения непрерывно зависит от параметра беспорядка x, то спектр возбуждений можно найти приближенно. Если степень беспорядка не слишком велика, то спектр бесконечной цепочки, по-видимому, можно рассматривать как сумму независимых вкладов от различных коротких отрезков цепочки, концентрации компонентов сплава в которых различны. Таким образом, концепция «островков», уже позволившая дать качественную трактовку происхождения особых частот и запрещенных областей энергии в бинарном сплаве, обобщается на предмет полуколичественного описания полного спектра.

Пусть требуется вычислить (интегральную) плотность состояний D (λ) для неупорядоченной цепочки, в которой среднее межатомное расстояние равно . В самом грубом приближении можно взять плотность состояний для регулярной цепочки с таким же межатомным расстоянием, т. е. принять:

. (6.30)

Не следует думать, что такая оценка бесполезна. Например, в случае жидкости Кронига - Пенни это приближение подскажет нам, где искать главные «разрешенные» зоны и где могут быть запрещенные области энергии.

Выберем теперь случайным образом конечный отрезок рассматриваемой цепочки, состоящий из L ячеек. Если среднее межатомное расстояние в нем равно , то функция дает нам плотность состояний в идеальной цепочке с таким межатомным расстоянием. Будем далее рассматривать цепочку как последовательность отрезков идеальной цепочки. Пусть длины этих отрезков одинаковы и равны L, но средние межатомные расстояния в них случайно изменяются от отрезка к отрезку, и вероятность реализации того или иного значения задается функцией распределения . Полученная таким путем плотность состояний для всей совокупности отрезков называется приближением локальной плотности:

. (6.31)

Эта аппроксимация дает гораздо более точные результаты, чем простая формула (37). Если функция достаточно регулярна, а длина L не слишком мала, то функция распределения расстояний удовлетворяет центральной предельной теореме и стремится к гауссовой форме:

, (6.32)

где s² есть средний квадрат флуктуации межатомного расстояния при переходе от отрезка к отрезку.

Точная форма функции , фигурирующей в формуле (6.38), зависит от конкретных свойств данной физической системы. Особенно интересны, однако, те области спектра, которые лежат вблизи точек, соответствующих краям зон в идеальной цепочке. Согласно теории функций, эти края зон должны совпадать с особенностями Ван Хова.

Рассмотрим простую задачу для плотности числа колебаний в регулярной решетке с периодом a. Пусть - жесткость связей атомов, имеющих массу M. Спектр колебаний определяется выражением:

или .

Тогда

.

Но т.к. , то можно сказать, что

,

т.е. мы находим якобиан перехода от интегрирования по пространству K к интегрированию по w: .

D(w) N(w)

w/w0

N(w)

w/w0

 

Рис. 6.6 Графики плотности числа состояний и интегральная плотность состояний в одномерных системах

Особенность Ван-Хова:

(корневой характер плотности числа состояний в одномерных системах, в двухмерных системах - логарифмическая особенность).

Итак, в одномерной регулярной решетке интегральная плотность состояний вблизи потолка первой зоны приближается к единице по закону

(6.33)

Однако при изменении межатомного расстояния точка , соответствующая потолку указанной зоны, должна сдвигаться по какому-нибудь закону типа

, (6.34)

здесь – потолок данной зоны для среднего (по всей цепочке) межатомного расстояния , а коэффициент определяется конкретными параметрами модели. Предположим, что отклонения будут малы, поэтому оставим только линейный член.

Подставляя соотношения (6.32 – 34) в формулу (6.31), мы получаем выражение для интегральной плотности состояний в неупорядоченной цепочке. Итак,

,

,

,

где , , . (6.35)

Под интегралом в (6.35) стоит произведение двух функций: плавной и с острым пиком. Для интегрирования используем метод перевала - в точке максимума плавная функция заменяется на и выносится за интеграл, а резкая функция интегрируется.

Например, достаточно далеко в запрещенной области энергии (выше ) мы обнаруживаем экспоненциально затухающий хвост плотности состояний, описываемый выражением вида

. (6.36)

 

D (λ)

 

λ 1/2

 

Рис. 6.7. Сравнение интегральной плотности состояний в модели «жидкости» Кронига - Пенни, вычисленной в приближении локальной плотности и путем расчета по методу Монте-Карло.

 

В действительности модель «одномерной жидкости» вряд ли заслуживает столь утонченного расчета, хотя следует отметить, что результаты таких вычислений совпадают с численными расчетами по методу Монте-Карло (рис. 6.7) в пределах ошибки.

Таким образом, метод приближения локальной плотности очень полезен как эвристический, полуколичественный подход к расчету спектра неупорядоченной системы. Вместе с тем данный подход по-видимому не может служить исходной точкой для строго определенного ряда последовательных приближений, сходящихся к истинной плотности состояний. Далее, это приближение совершенно не годится для исследования «патологических» характеристик спектра вроде особых запрещенных областей энергии в модели бинарного сплава.