Метод релаксаций
Пусть дана система: (3.1)
Преобразуем эту систему следующим образом: перенесем свободные члены налево и разделим первое уравнение на Пусть
Если одной из неизвестных Суть метода заключается в том, чтобы на каждом шаге обращать в нуль максимальную по модулю невязку, изменяя значения соответствующей компоненты приближения. Процесс заканчивается, когда все невязки преобразованной системы будут равны нулю с заданной степенью точности. Пример3.1: Пусть дана линейная система. Решить с точностью 0.01.
Приведем систему к виду, удобному для релаксации:
Выбирая в качестве начальных приближений корней нулевые значения Согласно общей теории полагаем:
Далее полагаем
Суммируя все приращения
Удобно располагать вычисления в таблице:
Ответ:
|
, второе – на 
и т.д. Тогда получим систему, приготовленную к релаксации: 
, где 
и 
.
- начальное приближение решения системы. Подставляя эти значения в систему, получим в правых частях уравнений системы некоторые числовые значения. Будем называть их невязками. Невязки обращаются в нуль при подстановке корней в уравнения системы
.
дать приращение 
, то соответствующая невязка 
уменьшится на величину 
увеличатся на величину 
. Таким образом, чтобы обратить очередную невязку 
в нуль, достаточно величине 
дать приращение 
и мы будем иметь 
и 
.
.
, находим 
, 
, 
.
. Отсюда получаем невязки
получим значения корней:
