Метод релаксаций

 

Пусть дана система: (3.1)

Преобразуем эту систему следующим образом: перенесем свободные члены налево и разделим первое уравнение на , второе – на и т.д. Тогда получим систему, приготовленную к релаксации: , где и .

Пусть - начальное приближение решения системы. Подставляя эти значения в систему, получим в правых частях уравнений системы некоторые числовые значения. Будем называть их невязками. Невязки обращаются в нуль при подстановке корней в уравнения системы

.

Если одной из неизвестных дать приращение , то соответствующая невязка уменьшится на величину , а все остальные невязки увеличатся на величину _. Таким образом, чтобы обратить очередную невязку в нуль, достаточно величине дать приращение и мы будем иметь и

Суть метода заключается в том, чтобы на каждом шаге обращать в нуль максимальную по модулю невязку, изменяя значения соответствующей компоненты приближения. Процесс заканчивается, когда все невязки преобразованной системы будут равны нулю с заданной степенью точности.

Пример3.1: Пусть дана линейная система. Решить с точностью 0.01.

.

Приведем систему к виду, удобному для релаксации:

.

Выбирая в качестве начальных приближений корней нулевые значения , находим , , .

Согласно общей теории полагаем: . Отсюда получаем невязки

Далее полагаем

Суммируя все приращения получим значения корней:

Удобно располагать вычисления в таблице:

x1	R1	x2	R2	x3	R3
0.93	.60 0.16	0.86	0.70 0.16	0, 80     0.18	0.80 -0.80
0.76 0.17	0.86 -0.86	0.09
0.93 -0.93	0.13	0.09	0.09 0.09
0.07	0.04	0.09 0.04	0.18 -0.18
0.04 0.03	0.13 -0.13	0.02	0.01
0.07 -0.07	0.01	0.01	0.01 0.01
		0.01	0.02 -0.02
	0.01 -0.01
1.00		1.00		1.00

 

Ответ: