Метод хорд
В этом методе нелинейная функция f(x) на отделенном промежутке [ a, b ] заменяется хордой, проходящей через точки (a, f(a))и (b, f(b)) Рис.2.4. Метод хорд. Неподвижен правый конец промежутка b Уравнение хорды:
Точку x1 принимаем за новую границу отрезка, где содержится корень. Через эту точку с координатами (x1, f(x1)) и соответствующую границу предыдущего интервала (b, f(b)) опять проводим хорду, находим Вторая производная
Рис.2.5. Метод хорд. Неподвижен левый конец промежутка a Если f(a)· f " (a)> 0, то хорда имеет левый фиксированный конец, причем последовательность x0, x1, …xn … приближается к корню справа. За начальное приближение x0, берут b
Для оценки точности можно воспользоваться формулой
где Пример 2.4. Найти методом хорд корень уравнения x4-x-1=0
Решение находим, используя пакет Mathcad.
Функция монотонна на промежутках (-∞, 0.63), (0.63, ∞) и меняет на концах промежутков знак. Уравнение имеет два корня. Сузим промежутки отделения корней методом проб, т.е. подстановкой.
Первый корень принадлежит промежутку (-1, -0.5)
Второй корень принадлежит промежутку (1, 1.5)
Будем находить корень на промежутке (-1, -0.5)
Вторая производная всюду положительна, функция положительна в точке a = -1, значит, этот конец неподвижен.
так как нужно учитывать при оценке точности решения,
Нашли корень исходного уравнения
Рис. 2.6. Вычисления в Mathcad, реализующие метод хорд для примера 2.4
2.2.3. Метод Ньютона – метод касательных
Пусть Ограничимся двумя членами ряда и так как
Учитывая найденную поправку hn:, получим Рис.2.7 Метод касательных. Начальное приближение x0=b По-другому этот метод называется методом касательных. Если в точке Хорошим начальным приближением Теорема 2.2: Если
Пример 2.5. Найти методом Ньютона корень уравнения x4-x-1 =0,
Нашли корень исходного уравнения -0.7245 с точность 0.00007.
Рис. 2.8. Вычисления в Mathcad, реализующие метод касательных для примера 2.5
|