Метод итераций. где - непрерывная функция

 

Пусть дано уравнение

, (2.1)

где - непрерывная функция. Заменим его равносильным уравнением

. (2.2)

Выберем каким-либо способом приближенное значение корня и подставим его в правую часть уравнения (2). Получим некоторое число . Повторим данную процедуру с x₁, получим . Повторяя описанную процедуру, будем иметь последовательность чисел:

, где n=1, 2, …. (2.3)

Пусть у этой последовательности существует предел . Перейдем к пределу в равенстве (2.3). Предполагая функцию φ (х) непрерывной, найдем: или .

Таким образом, предел является корнем уравнения и может быть вычислен по формуле (2.3) с любой степенью точности.

На рисунке дана геометрическая интерпретация метода итераций в зависимости от знака производной функции φ (х).

 

Рис 2.10 φ ^'(х) > 0.

Рис.2.11 φ ^'(х) < 0

 

Достаточное условие сходимости процесса итераций определяется в следующей теореме.

Теорема 2.3: Пусть функция определена и дифференцируема на отрезке , причем все ее значения . Тогда, если существует правильная дробь q такая, что при , то

1. процесс итерации (n=1, 2,..) сходится независимо от начального значения ;

2. предельное значение является единственным корнем уравнения на отрезке при .

 

Для оценки погрешности приближения x_n получается формула:

,

где ; а на [ a, b ] При заданной точности ответа ε итерационный процесс прекращается, если

. Если q< |0.5| , то .

Сходимость итерационной последовательности определяется видом функции φ (х). Преобразование к виду (2.2) можно провести различными способами. Чтобы обеспечить сходимость, можно искать решение в виде

, (2.4)

где k-целое число. Уравнение (2.4) это уравнение (2.1) с . Оно равносильно исходному уравнению (2.1). Для сходимости метода итераций по теореме 2.3 необходимо, чтобы . Дифференцируем φ (х) и получаем . Решаем неравенство :

.

Чтобы условие сходимости выполнялось на всем промежутке [ a, b ], нужно взять , где .

Итак, если выполняются условия то метод итераций сходится для уравнения

 

Пример 2.6. Методом итераций найти корень уравнения

на промежутке (-10, -9, 6) с четырьмя знаками после запятой.

 

Находим производную f(x)

 

 

 

 

 

По значению производной f(x) выбираем положительное k

В качестве начального приближения выберем левый конец промежутка. Сделаем шесть итераций.

 

 

Так как значения производной φ (x) по модулю меньше 0.5, то оцениваем точность вычислений по формуле

 

 

Корень уравнения x = -9.98071 найден с точностью 0.000038

 

Рис. 2.12. Вычисления в Mathcad, реализующие метод итераций для примера 2.6