Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Метод итераций





 

Дана система, состоящая из n линейных уравнений с n неизвестными:

(3.1)

Обозначим через -матрицу коэффициентов системы (3.1), через - столбец свободных членов и через - столбец неизвестных.

Тогда систему (3.1) можно записать в виде матричного уравнения

.

Решением системы будут числа x1, x2, …, xn. Определитель системы не равен нулю. Предполагая, что диагональные коэффициенты разрешим первое уравнение системы относительно x1, второе – относительно x2 и т.д. Тогда получим равносильную систему, которая называется приведенной к виду, удобному для итераций.

, (3.2)

где (3.3)

Введем в рассмотрение матрицы:

и .

Тогда систему можем записать в матричном виде:

. (3.2')

Заметим, что систему (3.1) можно приводить к виду (3.2) любыми линейными преобразованиями. Систему (3.2) будем решать методом последовательных приближений, используя матричную запись. За нулевое приближение принимаем, например, столбец свободных членов: Далее последовательно строим матрицы-столбцы: и т.д.

Любое (k+1)-ое приближение вычисляют по формуле:

. (3.4)

Если последовательность приближений имеет предел , то этот предел является решением системы (3.2). В самом деле, переходя к пределу в равенстве (3.4), будем иметь: или т.е. предельный вектор является решением системы.

Напишем формулы приближений в развернутом виде:

Метод итераций – метод последовательных приближений. Процесс итерации хорошо сходится, т.е. число приближений, необходимых для получения корней системы с заданной точностью, невелико, если элементы матрицы a малы по абсолютной величине. Иными словами, для успешного применения процесса итерации модули диагональных коэффициентов системы должны быть велики по отношению к модулям недиагональных коэффициентов этой системы. Свободные члены при этом роли не играют.

Выясним, при каких достаточных условиях последовательность приближений имеет предел.

Теорема 3.1

Если для приведенной системы выполнено, по меньшей мере, одно из условий:

или ,

то процесс итерации сходится к единственному решению этой системы, независимо от выбора начального приближения.

В теореме (3.1) - «с» это значение максимальной суммы модулей элементов в строках, а «d» в столбцах матрицы α;. Эти числа называют нормой матрицы α по строкам и по столбцам соответственно.

Следствие из теоремы (3.1).

Для приведенной системы

полученной из системы по формулам (3.3)

метод итераций сходится, если выполнены неравенства

(i=1, 2, …n),

т.е. модули диагональных коэффициентов системы больше суммы модулей всех остальных коэффициентов.

 







Дата добавления: 2014-11-12; просмотров: 984. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...


ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...


Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...


Логические цифровые микросхемы Более сложные элементы цифровой схемотехники (триггеры, мультиплексоры, декодеры и т.д.) не имеют...

Краткая психологическая характеристика возрастных периодов.Первый критический период развития ребенка — период новорожденности Психоаналитики говорят, что это первая травма, которую переживает ребенок, и она настолько сильна, что вся последую­щая жизнь проходит под знаком этой травмы...

РЕВМАТИЧЕСКИЕ БОЛЕЗНИ Ревматические болезни(или диффузные болезни соединительно ткани(ДБСТ))— это группа заболеваний, характеризующихся первичным системным поражением соединительной ткани в связи с нарушением иммунного гомеостаза...

Решение Постоянные издержки (FC) не зависят от изменения объёма производства, существуют постоянно...

Лечебно-охранительный режим, его элементы и значение.   Терапевтическое воздействие на пациента подразумевает не только использование всех видов лечения, но и применение лечебно-охранительного режима – соблюдение условий поведения, способствующих выздоровлению...

Тема: Кинематика поступательного и вращательного движения. 1. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью, проекция которой изменяется со временем 1. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью...

Условия приобретения статуса индивидуального предпринимателя. В соответствии с п. 1 ст. 23 ГК РФ гражданин вправе заниматься предпринимательской деятельностью без образования юридического лица с момента государственной регистрации в качестве индивидуального предпринимателя. Каковы же условия такой регистрации и...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия