Развитие понятия числа

Определение: Если результатом действия над числами некоторого множества является число этого же множества, то говорят, что это действие выполняется в этом множестве.

Пример 1. Сложение и умножение выполняются в множестве натуральных чисел, т.к. результаты этих действий есть натуральные числа.

 

Пример 2. Вычитание в множестве натуральных чисел не выполняются, т.к. при вычитании большего числа из меньшего получается отрицательное число, которое не является натуральным.

Аналогично можно рассмотреть примеры результатов действий деления, извлечения корня, которые не входят(соответственно) в множество целых чисел и действительных чисел.

Результаты действий вычитания, деления, извлечения корня расширяют понятия числа и приводят к появлению новых числовых множеств. Это развитие наглядно иллюстрируются с помощью кругов Эйлера.

N – множество натуральных чисел

(сложение и умножение)

Z – множество целых чисел

(сложение, умножение и вычитание)

Q – множество рациональных чисел (сложение, умножение, вычитание и деление)

Рациональные числа выражаются в виде бесконечной десятичной дроби периодической дроби.

R – множество действительных чисел (сложение, умножение, вычитание и деление, возведение в целую степень и извлечение корня из неотрицательного числа)

Действительные числа выражаются бесконечной десятичной непериодической дробью.

Все действительные числа расположены на оси (OX), которую называют действительной осью, т.к. между действительными числами и точкамиоси (OX) установлено взаимно-однозначное соответствие. Каждому действительному числу соответствует единственная точка оси (OX) и каждой точке оси (OX) соответствует одно и только одно действительное число.

Но в множестве действительных чисел не выполняется действие извлечение корня из отрицательного числа, не имеет действительного решения и уравнение x²+1=0. Для того, чтобы все это стало возможным введем новую единицу i (мнимая единица).

i2= -1

Определение. Мнимой единицей (i) называется такое число, квадрат которого равен –1,

В этом случае любое отрицательное число можно представить: и тогда - есть мнимое число.

Решим уравнение x²+1=0

x²=-1

x²=i²

Ответ:

С введением мнимой единицы появились мнимые числа вида и стало возможным извлекать корень четной степени из отрицательного числа.

Если к множеству действительных чисел (а) добавить множество всех мнимых чисел (вi), то получим новое множество -комплексных чисел. (К), в котором выполняются все арифметические действия; сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в любую степень и извлечение корня.