Теорема Ферма

Если функция у=f(x) непрерывна в промежутке (а; в), в некоторой точке х₀ этого промежутка достигает максимума (или минимума) и дифференцируема в этой точке (а) и в) рис.), то ее производная в этой точке равна нулю.

На рисунках а) в) у^/_(х0)=0, значит касательная, проведенная к графику этой функции в точке М₀ будет параллельная оси (ох). На рисунке а) слева от точки М₀ у=f(x) (вверх), с права вниз. На рисунке в). Слева от точки М₀ у=f(x) (вниз), а справа вверх. Аналогично 1) и 2) ведет себя функция и на рисунках соответственно б) и г), с одной лишь разницей, чем в точках х₀ функция не дифференцируема, так как касательная в точке М₀ перпендикулярна оси ох.

Из этих рассуждений можно составить первое правило нахождения экстремума функции и исследовании ее на монотонность.

Правило исследования функции у=f(x) с помощью первой производной.

Пусть дана функция у=f(x).

1. Найдем у^/.

2. Найдем корни у^/, или точки, в которых у^/ - не существует. Эти точки называются критическими точками первого рода.

3. Расположим критические точки на числовой прямой (в порядке возрастания) и проверим знак производной в каждом полученном промежутке значений х.

В точке x₁, x₃ y^/=0, а в точках x₂, x₄, x_6. – не , в точках x₁, x₃ касательная параллельна оси ОХ, в остальных критических точках параллельная оси ОХ (рис. 2) и (рис. б)). В точке х₃ смены знака производной не произошло, значит в этой точке экстремума нет, но график делает «горизонтальный» перегиб, аналогично в точке х₆ только «вертикальный» перегиб.

Если сделать схематичный рисунок графика, то он будет выглядеть примерно так:

В точках M₂, M₄, M₅ – иногда называют экстремумы «пиками» минимум – пика, максимум пика. А перегибы в токах М₃ и М₆ – перегиб – «колено».

Когда касательная в токах М₃ и М₆ параллельна оси ОХ или оси ОУ.