Умножение матриц

Произведением матрицы А=(a_ij), имеющей m строк и k столбцов, на матрицу B=(в_ij), имеющую k строк и n столбцов, называется матрица С=(с_ij), имеющая m строк и n столбцов, у которого элемент c_ij равен сумме произведений элементов i -ой строки матрицы А и j -го столбца матрицы В, то есть с_ij=a_i1∙ в_1j+a_i2∙ в_2j+…+a_ik∙ в_kj, (i=1, 2…m; j=1, 2, …n).

Причем k столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В. В противном случае произведение неопределено.

Пример.

1 3 -4

2 3 4 5 -3 2 =

5 6 7 -2 4 3

=

=

2∙ 1+3∙ 5+4∙ (-2) 2∙ 3+3∙ (-3)+4∙ 4 2∙ (-4)+3∙ 2+4∙ 3 9 13 10

5∙ 1+6∙ 5+7∙ (-2) 5∙ 3+6∙ (-3)+7∙ 4 5∙ (-4)+6∙ 2+7∙ 3 21 18 13

Определение: Матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали равны единицы, называются единичной матрицей и обозначается Е.

1 0 0.. 0

Е =

0 1 0.. 0 Она обладает свойством А∙ Е=А, если

…………………………..

0 0 0.. 1

А – квадратная и Е – квадратная с тем же количеством строк и столбцов что и А

.

Каждой матрице соответствует свой определитель (ДЕТЕРМИНАНТ).

a₁ в₁ c₁a₁ в₁ c₁

А= a₂ в₂ с₂ треугольник = a₂ в₂ с₂

а₃ в₃ с₃а₃ в₃ с₃

 

Теория матриц и определителей имеет широкое применение как в самой математике, так и в её приложениях. Это очень удобный и часто используемый в самых разнообразных исследованиях математический аппарат.

Рассмотрим применение матриц и определителей к исследованию и решению системы трех линейных уравнений первой степени с тремя неизвестными.

a₁x+в₁y₊c₁z=d₁

a₂x+в₂y₊c₂z=d₂

a₃x+в₃y₊c₃z=d₃

Упорядоченная тройка чисел (x₀; y₀; z₀) является решением системы, если в результате подстановки этих чисел в систему вместо x, y, z все три уравнения обращаются в верные равенства.

Геометрически каждое уравнение системы - есть плоскость. Три плоскости в пространстве могут располагаться следующим образом:

1. Все три плоскости пересекаются в точке M₀ (x₀; y₀; z₀) – координаты этой точки и есть решение системы. Система будет иметь единственное решение.

2. Все три плоскости параллельны или две из них параллельны, а третья пересекает их, или совпадает с одной из них. Тогда общих точек плоскостей нет. Система не будет иметь решений.

3. Все три плоскости совпадают. Получается бесконечное множество общих точек. Система будет иметь бесконечное множество решений.

 

 

Для решения системы алгебраически составим определители.

- главный, _х – вспомогательный по х.

_у – вспомогательный по y

_z – вспомогательный по z.

a₁ в₁ c₁ d₁ в₁ c₁

= a₂ в₂ с₂; _х= d₂ в₂ с₂

а₃ в₃ с₃ d₃ в₃ с₃

 

 

_. a₁ d₁ c₁ a₁ в₁ d₁

_у= a₂ d₂ с₂; _z= a₂ в₂ d₂

а₃ d₃ с₃ а₃ в₃ d₃

 

1. Если ∆ 0, то система имеет единственное решение

х= ; y= ; z= .

Это формулы Крамера (Швейцарский математик).

2. Если ∆ =0, ∆ _х 0 или ∆ _у 0 или ∆ _z 0, то система не имеет решения.

3. Если ∆ =∆ _x∆ _y=∆ _z=0, то система имеет бесконечное множество решений.

Система. а₁x+в₁у+с₁z=0

a₂x+в₂у+с₂z=0 называется однородной системой

а₃x+в₃у+с₃z=0

Эта система всегда имеет решение М₀(0; 0; 0).