Матричная запись системы линейных уравнений

а₁x+в₁у+с₁z=d₁

a₂x+в₂у+с₂z=d₂

а₃x+в₃у+с₃z=d₃

Введем обозначения:

a₁ в₁ c₁ х d₁

А = a₂ в₂ с₂ ; Χ = у Д= d₂

а₃ в₃ с₃ z d₃

Тогда система запишется следующим образом X-неизвестный вектор - столбец. Д-известный вектор - столбец. А∙ Х=Д

Определение: обратной для матрицы «А» называется такая матрица, которая удовлетворяет условию.

А^-1∙ А=A∙ A^-1=E, где Е – единичная матрица.

Если , то

А₁/∆ A₂/∆ A₃/∆

А^-1= B₁/∆ B₂/∆ B₃/∆, где A_i; B_i; C_i –алгебраические дополнения соответственно

C₁/∆ C₂/∆ C₃/∆ элементов a_i в_i c_i (i=1, 2, 3).

Тогда решение системы будет:

А∙ Х=Д | ∙ А^-1 A∙ A^-1∙ X=Д ∙ А^-1 E∙ X=Д ∙ А^-1 X=Д∙ А^-1 – решение в матричной форме.

Пример. Решить систему по формулам Крамера и матричным способом.

А) Метод Крамера:

x+2y+z=1 1 2 1

2x+y+z=-1 ∆ = 2 1 1 = 1+6+2-1-4-3=9-8=1 0

x+3y+z=2 1 3 1 имеет единственное решение.

 

1 2 1

∆ _x= -1 1 1 = 1+4-2-2+2-3=7-8=-1

2 3 1

 

1 1 1

∆ _y= 2 -1 1 = -1+4+1+1-2-2=6-5=1

1 2 1

 

1 2 1

∆ _z= 2 1 -1 = 2+6-2-2-8+3=-11+11=0

1 3 2

 

 

x= = =-1; y= =1; z= =0

Ответ: (-1; 1; 0)

Б) Матричным способом. ∆ =1 (найдено в А)

a_i b_i c_i

1 2 1 1

Составим матрицу А= 2 1 1; Д= -1

1 3 1 2

Находим алгебраические дополнения

А₁ = ∙ (-1)¹⁺¹=1-3=-2; A₂ = (-1)²⁺¹∙ = -1∙ (2-3)=1; A₃ = (-1)³⁺¹∙ = 2-1=1

 

B₁ = (-1)¹⁺² = -1; B₂ = (-1)²⁺² ∙ = 0; B₃ = (-1)³⁺² = -1(-1)=1

 

C₁ = (-1)¹⁺³ = 6-1=5 C₂ = (-1)²⁺³ = -1 C₃ = (-1)³⁺³ = 1-4=-3.

-2/1 1/1 1/1 -2 1 1

A^-1= -1/1 0/1 1/1 = -1 0 1

5/1 -1/1 -3/1 5 -1 -3

 

Ответ: (-1; 1; 0)

 

В) Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса, немецкий математик, 1777-1855 гг.)

Рассмотрим эту же систему:

x+2y+z=1

2x+y+z=-1

x+3y+z=2

 

Составим для этой системы расширенную матрицу.

1 2 1 1

2 1 1 -1 ~

1 3 1 2

 

Обнулим во второй строке первый элемент, в третьей строке первый и второй элементы.

1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1

0 -3 -1 -3 ~ 0 1 0 1 ~ 0 1 0 1

0 1 0 1 0 -3 -1 -3 0 0 -1 0

Запишем систему, соответствующую конечной матрице:

x+2y+z=1 x+2∙ 1+0=1 x=-1

y=1 y=1

-z=0 z=0

Ответ: (-1; 1; 0).