В равенстве (1) перейдем к пределу при х 0

Lim х 0, tg =lim х 0, tgd=y^/(x₀), но tgd=K_касат., значит у^/(х₀) – есть угловой коэффициент касательной, проведенной к данной кривой у=f(x) в данной точке х₀.

Это есть геометрический смысл производной функции.

 

(M₀K) – касательная.

(M₀N) (M₀K).

(M₀N) – нормаль к графику.

y-y₀=k (x-x₀) – уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Если k=k_касат.=f^/(x₀), то у-у₀=f^/(x₀) (x-x₀) – уравнение касательной.

Если k=k_норм.= = , то у-у₀= (х-х₀) – уравнение нормали.

 

Правила дифференцирования функции.

Для нахождения производной можно воспользоваться алгоритмом, но эта работа будет очень трудоемкой и нерациональной. Этим алгоритмом можно воспользоваться для вывода формул дифференцирования подразделив все функции на большие классы. А затем использовать эти формулы для различных функций в этих классах.

Основные формулы дифференцирования:

1. (с^/)=0 (с-const).

2. (x)^/=1.

3. (u+v-w)^/=u^/+v^/-w^/, где u, v, w – есть функции от х.

4. (u v)^/=u^/ v+u v^/.

5. (u c)^/=c (u)^/.

6. .

7. (ln u)^/ = , (log_au)^/ = .

8. (а^u)^/ = а^u ln a u^/; (e^u)^/=e^u u^/.

9. (u^m)^/ = m u^m-1 u^/; ()^/ = .

10. (sin u)^/ = cos u u^/.

11. (cos u)^/ =-sin u u^/.

12. (tg u)^/ = .

13. (ctg u)^/ = - .

14. (arcsin u)^/ = .

15. (arccos u)^/ = - .

16. (arctg u)^/ = .

17. (arcctg u)^/ = - .

18. y=f(ц(x)), то y^/=f^/_ц ц^/_х, - произведение сложной функции.

19. x=f(t) и у=ц(t), то y^/_x = , - функция задана параметрически.

20. Дифференцирование неявной функции.

а) Продифференцировать функцию по х, учитывая, что у=f(x).

б) Разрешить полученное выражение относительно у^/.