Асимптоты графика функции

Определение:

Асимптотой графика функции у=f(x) называется прямая линия, к которой неограниченно приближается уходящая в бесконечность ветвь графика (хотя бы пересекая эту прямую бесчисленное множество раз). Уравнение асимптоты. у=kx+в, если она наклонная, у=в, если она параллельна оси ОХ, х=а, если она параллельна оси ОУ.

Пусть нам дана функция f(x), тогда для определений k – углового коэффициента

, а для

Если k=0, то в= f(x), если в – существует, то у=в – горизонтальная асимптота.

Если f(x)= , то х=а – вертикальная асимптота.

Исследовать функцию и построить ее график.

у=

1. О.О. x²-4 0 x 2

2. y ] [ - множество значений функции.

3. Четность можно определить, так как область определения функции симметрична относительно нуля.

f(-x)= - функция нечетная.

Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат.

4. Корни

5. Промежутки законопостоянства функции.

6. Исследуем с помощью предела Асимптоты:

lim ; lim

lim ; lim , x-2 – вертикальная асимптота.

Отыскиваем наклонную асимптоту в виде у=kx+в.

k=lim в=lim

= y=1 x+0; y=x – наклонная асимптота.

7. Исследуем с помощью первой производной:

у^/= .

у^/=0 у^/ - не существует.

x_{1, 2}=0, x_{3, 4}= , x_{5, 6}= - точки разрыва функции и в этих точках функция недифференцируема.

(в точках +2, -2, и х=0 не происходит смены знака у^/, так как х² и (х²-4)² – всегда положительны).

y_max=f(-2 )= , y_{перегиб «колено»}=f(0)=

8. Исследуем с помощью второй производной.

у^//= ()^/ = =

= .

8.3

у_{перегиб.}=f(0)=0. В точке х=+2 и х=-2 – перегиба нет, так как в этих точках у=f(x) не существует.

9. Строим график функции по проведенному исследованию.