Производная функции

Определение:

Производной функции f^/(x) или у^/ от данной функции у=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю.

Чтобы найти производную функции, необходимо выполнить следующие шаги:

1. f(x+ x)=… найти наращенное зная функцию.

2. y=f(x+ x)-f(x)=… - приращение функции.

3. = =… - отношение у к х.

4. y^/=lim x 0, =lim x 0, =… - предел этого отношения при x 0.

Этот алгоритм нахождения производной называется дифференцированием функции.

Понятие производной является одним из основных и важнейших понятий математического анализа. К понятию производной приходится обращаться при решении целого ряда задач по физике, механике и геометрии, связанных с изучением скорости некоторого процесса.

Так при движении материальной точки по прямой при неравномерном движении проёденный путь будет зависеть от времени. За период времени t, точка пройдет путь S при достаточно малом значении t скорость можно считать постоянной и тогда V_ср= при t 0 V_ср V_сигн V_сигн=lim t 0, V_cp = lim t 0, =S^/ |S^/(t)=V^*в данный момент времени.

Формулу * называют физическим смыслом производной, то есть производная – есть скорость изменения функции в данной точке. (или мгновенная скорость движения). Производная функции имеет и геометрический смысл.

Пусть y=f(x) имеет x₀, f(x₀), x+ x, и f(x₀+ x). М₀ и М соответствую x₀ и х и лежат на графике у=f(x), тогда (М₀М) – секущая. Из М₀NM имеем: tg = = (1)

Пусть точка М, двигаясь по кривой неограниченно близко приближается к точке М₀. Тогда будут происходить следующие процессы:

(М₀М) (М₀К) – касательной к графику у=f(x) в точке М₀.

М М₀ х 0.

d tg tgd