Метод Эйлера-Коши

Необходимо решить уравнение (101): . Проведем в точке касательную I к функции x(t) (рис. 88). Она пройдет под углом a. Пересечение касательной I с вертикалью t_i+1 назовем промежуточной точкой x_i*.

Если предположить, что функция x(t) проходит черезпромежуточную точку (x_i*, t_i+1), то в ней также можно построить касательную II к функции x(t). Касательная II пройдет под углом b.

Проведем через точку (x_i*, t_i+1) прямую III под углом g так, чтобы выполнялось равенство:

.

Через точку (x_i, t_i) проведем прямую IV параллельно прямой III. Она тоже пройдет под углом g. Точка пересечения прямой IV с вертикалью t_i+1 представляет собой следующую искомую точку (x_i+1, t_i+1) функции x(t).

Осуществим вывод формулы для расчета функции x(t).

Согласно рис. 88:

,

где x_i, x_i+1 – текущая и последующая точки функции x(t) соответственно;

Δ x – приращение функции x(t) на интервале Δ t.

 

Рис. 88. Иллюстрация к методу Эйлера-Коши

Величину Δ x найдем из прямоугольного треугольника с углом g:

. (113)

При малых отклонениях углов a и b можно воспользоваться формулой:

. (114)

Согласно геометрическому смыслу первой производной функции:

,

. (115)

Согласно рис. 88:

, .

Величину Δ x* найдем из прямоугольного треугольника с углом a:

. (116)

Подставив все полученные значения в исходную формулу, получим формулу метода Эйлера-Коши:

. (117)

Пример. Для уравнения запишем формулу расчета функции x(t) согласно методу Эйлера-Коши