Краткие теоретические сведения. Пусть необходимо вычислить определенный интеграл , причем функция f(x) задана либо таблично, либо f(x) достаточно сложна

Пусть необходимо вычислить определенный интеграл , причем функция f(x) задана либо таблично, либо f(x) достаточно сложна, чтобы вычислить интеграл с помощью специальных аналитических методов.

Задача численного интегрирования функции заключается в вычислении значения определенного интеграла по ряду значений подынтегральной функции, т. е. составлении интегральной суммы. Чем меньше интервалы разбиения (больше число узловых точек, т. е. точек, в которых вычисляется значение подынтегральной функции), тем точнее будет вычислен интеграл. Для функции, заданной таблично, число узловых точек фиксировано, и задача вычисления интеграла обычно сводится к замене этой функции на рассматриваемом отрезке интерполирующей функцией простого вида, интеграл от которой вычисляется непосредственно.

Для аналитически заданных функций возможны два способа выбора точек разбиения исходного интеграла: либо число точек или интервалов фиксируются заранее, либо число и величина интервалов определяются в процессе вычисления интеграла в зависимости от заданной точности. В обоих случаях исходная функция на каждом интервале также аппроксимируется соответствующей зависимостью.

Геометрическая интерпретация определенного интеграла: если f(x)³ 0 на [ a, b ], то представляет собой площадь области, ограниченной осью x, графиком f(x) и прямыми x=а и x=b (рис. 90).

Существует много различных методов численного интегрирования. Большинство из них основано на представлении интеграла в виде:

, (119)

где А_i – const. Наиболее часто используемым является метод прямоугольников.

Рис. 90. Геометрическая интерпретация интеграла