Модифицированный метод Эйлера
Необходимо решить уравнение (101): Она пройдет под углом a. Разделим интервал дискретизации Δ t пополам с помощью точки ti+1/2. Точку пересечения касательной I с вертикалью ti+1/2 назовем промежуточной точкой xi*. Если предположить, что функция x(t) проходит черезпромежуточную точку (xi*, ti+1/2), то в ней также можно построить касательную II к функции x(t). Касательная II пройдет под углом b. Через точку (xi, ti) проведем прямую III параллельно прямой II. Она тоже пройдет под углом b. Точка пересечения прямой III с вертикалью ti+1 представляет собой следующую искомую точку (xi+1, ti+1) функции x(t). Осуществим вывод формулы для расчета функции x(t). Рис. 87. Иллюстрация к модифицированному методу Эйлера Согласно рис. 87:
где xi, xi+1 – текущая и последующая точки функции x(t) соответственно; Δ x – приращение функции x(t) на интервале Δ t. Величину Δ x найдем из прямоугольного треугольника с углом b:
Согласно геометрическому смыслу первой производной функции:
Величину Δ x* найдем из прямоугольного треугольника с углом a:
Согласно геометрическому смыслу первой производной функции:
Подставив все полученные значения в исходную формулу, получим формулу метода Эйлера модифицированного:
Пример. Для уравнения
|
. Проведем в точке 
касательную I к функции x(t) (рис. 87).
,
. (106)
, (107)
, (108)
. (109)
. (110)
. (111)
. (112)
запишем формулу расчета функции x(t) согласно модифицированному методу Эйлера:
.
