Модифицированный метод Эйлера

Необходимо решить уравнение (101): . Проведем в точке касательную I к функции x(t) (рис. 87).

Она пройдет под углом a. Разделим интервал дискретизации Δ t пополам с помощью точки t_i+1/2. Точку пересечения касательной I с вертикалью t_i+1/2 назовем промежуточной точкой x_i*.

Если предположить, что функция x(t) проходит черезпромежуточную точку (x_i*, t_i+1/2), то в ней также можно построить касательную II к функции x(t). Касательная II пройдет под углом b.

Через точку (x_i, t_i) проведем прямую III параллельно прямой II. Она тоже пройдет под углом b.

Точка пересечения прямой III с вертикалью t_i+1 представляет собой следующую искомую точку (x_i+1, t_i+1) функции x(t).

Осуществим вывод формулы для расчета функции x(t).

Рис. 87. Иллюстрация к модифицированному методу Эйлера

Согласно рис. 87:

,

где x_i, x_i+1 – текущая и последующая точки функции x(t) соответственно;

Δ x – приращение функции x(t) на интервале Δ t.

Величину Δ x найдем из прямоугольного треугольника с углом b:

. (106)

Согласно геометрическому смыслу первой производной функции:

, (107)

, (108)

. (109)

Величину Δ x* найдем из прямоугольного треугольника с углом a:

. (110)

Согласно геометрическому смыслу первой производной функции:

. (111)

Подставив все полученные значения в исходную формулу, получим формулу метода Эйлера модифицированного:

. (112)

Пример. Для уравнения запишем формулу расчета функции x(t) согласно модифицированному методу Эйлера:

.