Численное решение систем дифференциальных уравнений

Пусть имеется система обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка, записанная в нормальной форме Коши:

(136)

с начальными условиями , .

Численная схема решения системы уравнений (136) согласно методу Эйлера будет выглядеть:

(137)

где Dt – интервал дискретизации; – номер интервала; – количество интервалов; с начальными условиями , .

Численная схема решения системы уравнений (136) согласно модифицированному методу Эйлера будет выглядеть:

(138)

где x_i*, y_i*, t_i* – промежуточные точки, рассчитываемые следующим образом:

,

,

.

Если подставить значения промежуточных точек в формулы (138), получим:

(139)

 

Численная схема решения системы уравнений (136) согласно методу Эйлера-Коши будет выглядеть:

(140)

где x_i*, y_i*, t_i* – промежуточные точки, рассчитываемые следующим образом:

,

.

Если подставить значения промежуточных точек в формулы (140), получим:

 

(141)

Численная схема решения системы уравнений (136) согласно методу Рунге-Кутта 4-го порядка будет выглядеть:

(142)

где X 1 _i, X 2 _i, X 3 _i, X 4 _i, Y 1 _i, Y 2 _i, Y 3 _i, Y 4 _i – промежуточные точки, рассчитываемые следующим образом:

Пример. Имеется система нелинейных дифференциальных уравнений:

(143)

Задача: составить численные схемы решения системы уравнений (143).

Метод Эйлера.

(144)

Модифицированный метод Эйлера.

(145)

или

(146)

 

Метод Эйлера-Коши.

(147)

или

(148)

 

Метод Рунге-Кутта 4-го порядка.

 

(149)