Численное решение систем дифференциальных уравнений
Пусть имеется система обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка, записанная в нормальной форме Коши:
с начальными условиями Численная схема решения системы уравнений (136) согласно методу Эйлера будет выглядеть:
где Dt – интервал дискретизации; Численная схема решения системы уравнений (136) согласно модифицированному методу Эйлера будет выглядеть:
где xi*, yi*, ti* – промежуточные точки, рассчитываемые следующим образом:
Если подставить значения промежуточных точек в формулы (138), получим:
Численная схема решения системы уравнений (136) согласно методу Эйлера-Коши будет выглядеть:
где xi*, yi*, ti* – промежуточные точки, рассчитываемые следующим образом:
Если подставить значения промежуточных точек в формулы (140), получим:
Численная схема решения системы уравнений (136) согласно методу Рунге-Кутта 4-го порядка будет выглядеть:
где X 1 i, X 2 i, X 3 i, X 4 i, Y 1 i, Y 2 i, Y 3 i, Y 4 i – промежуточные точки, рассчитываемые следующим образом:
Пример. Имеется система нелинейных дифференциальных уравнений:
Задача: составить численные схемы решения системы уравнений (143). Метод Эйлера.
Модифицированный метод Эйлера.
или
Метод Эйлера-Коши.
или
Метод Рунге-Кутта 4-го порядка.
|
(136)
, 
.
(137)
– номер интервала; 
– количество интервалов; с начальными условиями 
, 
.
(138)
,
,
.
(139)
(140)
,
.
(141)
(142)
(143)
(144)
(145)
(146)
(147)
(148)
(149)
