Вывод уравнения диффузии для неподвижной среды

Рассмотрим процесс диффузии вещества из раствора с концентрацией С ₀=const в растворитель (концентрация данного вещества в начальный момент времени равна нулю), ограниченный проницаемыми пластинами (рис. 101).

Изучим процесс диффузии вещества в растворителе. Перенос вещества происходит благодаря молекулярной диффузии (т. к. среда неподвижна) за счет разницы концентраций в растворе и растворителе.

Рис. 101. Процесс диффузии вещества

Опытным путем установлено, что скорость распространения вещества j, т. е. количество вещества, проходящего через сечение с абсциссой х за единицу времени, определяется формулой:

,

где f – площадь поверхности рассматриваемого сечения, м²; D – коэффициент диффузии, м²/ч, С – концентрация вещества, моль/м³.

Рассмотрим элемент объема (рис. 102), заключенного между сечениями х₁ и х₂ (х₂-х₁=Dх).

Рис. 102. Процесс диффузии в элементе объема

Количество вещества, проходящего через сечение с абсциссой х₁ за время Dt, будет равно:

.

То же самое для сечения х₂:

.

Приток вещества в элементарном объеме за время Dt будет равен:

.

За счет притока вещества в элементарном объеме (f^.Dх) произошло изменение концентрации на величину Dс, т. е. мы можем записать материальный баланс для элементарного объема:

Разделим левую и правую часть уравнения на f^.Dх^.Dt и учитывая, что

, , получим

, (158)

т. е. мы получили уравнение, описывающее перенос массы в неподвижной среде в направлении х. Его необходимо дополнить начальными и граничными условиями.

Начальные и граничные условия полученного уравнения, исходя из постановки задачи, могут быть заданы следующим образом:

.

Если бы в задаче было сказано, что одна пластина непроницаема для вещества (правая пластина на рис. 101), то начальные и граничные условия должны быть заданы следующим образом:

Условие означает, что скорость изменения концентрации по координате на границе равна 0.