Метод сетки

Численные методы решения наиболее полно разработаны для дифференциальных уравнений с двумя и тремя независимыми переменными. Мы ограничимся рассмотрением численных методов с двумя независимыми переменными.

Уравнения (161)–(163) должны быть дополнены соответствующими начальными и граничными условиями, т. е. должно быть заданно значение функции u в момент времени t = t0, а также на концах координаты х.

 

Такая совокупность начальных и граничных условий получила название краевых условий.

Уравнения подобного типа решаются с помощью метода конечных разностей, сущность которого состоит в том, что за искомый набор чисел принимается таблица значений решения в точках некоторого множества, называемых обычно сеткой.

Для вычисления искомой таблицы используются алгебраические уравнения, приближенно заменяющие исходное дифференциальные уравнение.

Рассмотрим решение дифференциальных уравнений в частых производных на примере диффузионной модели неподвижной среды (модели диффузии вещества в растворителе), которая имеет следующий вид:

(165)

с начальными и граничными условиями

.

Решить уравнение (165) – значит найти распределение концентрации во времени и пространстве (вдоль координат t и х), т. е., по сути, построить трехмерный график, который обычно имеет вид криволинейного пространства.

Суть метода сетки заключается в том, что вся заданная пространственно-временная область разбивается на равные интервалы времени и пространства через выбранные интервалы дискретизации D t и D х, и затем по представленной ниже методике находятся значения интересующего нас параметра в каждом узле сетки.

Пусть необходимо найти распределение концентрации С (t, x) на интервале [0, tk ], [0, L ].Тогда количество интервалов дискретизации по времени будет равно

, (166)

 

а по пространственной координате

. (167)

Примем обозначение текущей концентрации в произвольном узле сетки:

- по времени верхним индексом (n);

- по пространственной координате нижним индексом (k).

Таким образом, необходимо найти C_kⁿ, т. е. заполнить сетку при и (рис. 103).

Рис. 103. Сетка

Для того чтобы решить поставленную задачу, необходимо представить исходное дифференциальное уравнение в виде конечно-разностных отношений.

Существуют следующие способы представления производных в конечно-разностном виде:

1) левое конечно-разностное отношение

; (168)

2) правое конечно-разностное отношение

; (169)

3) центрированное конечно-разностное отношение

. (170)

Для решения дифференциального уравнения в частных производных составляется явная разностная схема.